专题六 圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例 1】 (2025·临夏州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 BC 上，BD＝DC，过点 D作 DE⊥AC，垂足为 E，⊙O 经过 A，B，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)推断 DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O 的半径为 3，∠BAC＝60°，求 DE 的长．分析：(1)连接 AD，证 AD⊥BC 可得；(2)连接 OD，利用中位线定理得到 OD 与 AC 平行，可证∠ODE 为直角，由 OD 为半径，可证 DE 与圆 O 相切；(3)连接 BF，先证三角形 ABC 为等边三角形，再求出 BF 的长，由 DE 为三角形 CBF 中位线，即可求出 DE 的长．解：(1)连接 AD， AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB 为圆 O 的直径(2)DE 与圆 O 相切，证明：连接 OD， O，D 分别为 AB，BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC， DE⊥AC，∴DE⊥OD， OD 为圆的半径，∴DE 与圆 O 相切(3) AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF， AB 为圆 O 的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF， D 为 BC 的中点，∴E 为 CF 的中点，即 DE 为△BCF 中位线，在 Rt△ABF 中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得 BF＝＝3，则 DE＝BF＝圆与相似【例 2】 (2025·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与 AC 相交于点H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)已知 CG∥EB，且 CG 与 BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求 AH 的值．分 析 ： (1) 证 ∠ EBD ＝ 90° 即 可 ； (2) 由 △ ABC∽△CBG 得 ＝ ， 可 求 出 BC ， 再 由△BFC∽△BCD 得 BC2＝BF·BD，可求出 BF，再求出 CF，CG，GB，通过计算发现 CG＝AG，可证 CH＝CB，即可求出 AC.解：(1)连接 CD， BD 是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°， ∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE 是⊙O 切线(2) CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又 ∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴＝，即 BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4， CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD， DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF 中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在 Rt△BFG 中，BG＝＝3， BG·BA＝48，∴...
