小专题六 电磁感应中的“杆+导轨”模型1.模型分类“杆+导轨”模型分为“单杆”型和“双杆”型;导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜三种;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等。情景复杂,形式多变。2.分析方法通过受力分析,确定运动状态,一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等,再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。[典例 1] 如图,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为 θ,两导轨间距为 L。导轨上端接有一平行板电容器,电容为 C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为 B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为 m 的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 μ,重力加速度大小为 g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑。求: (1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。解析:(1)设金属棒下滑的速度大小为 v,则感应电动势为E=BLv①平行板电容器两极板之间的电势差为U=E②设此时电容器极板上积累的电荷量为 Q,则C=③联立①②③式得Q=CBLv。④(2)设金属棒的速度大小为 v 时经历的时间为 t,通过金属棒的电流为 i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上,大小为f1=BLi⑤设在时间间隔(t,t+Δt)内流经金属棒的电荷量为 ΔQ,按电流的定义有i=⑥ΔQ 也是平行板电容器两极板在时间间隔(t,t+Δt)内增加的电荷量。由④式得ΔQ=CBLΔv⑦式中,Δv 为金属棒的速度变化量。按加速度的定义有a=⑧金属棒所受到的摩擦力方向斜向上,大小为f2=μN⑨式中,N 是金属棒对于导轨的正压力的大小,有N=mgcos θ⑩金属棒在时刻 t 的加速度方向沿斜面向下,设其大小为 a,根据牛顿第二定律有mgsin θ-f1-f2=ma联立⑤至 式得a=g由 式及题设可知,金属棒做初速度为零的匀加速运动。t 时刻金属棒的速度大小为v=gt。答案:(1)Q=CBLv (2)v=gt变式 1:如图所示,两平行导轨间距 L=0.1 m,足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接,倾斜部分与水平面的夹角 θ=30°,垂直斜面向上的磁场的磁感应强度 B=0.5 T,水平部分没有磁场。金属棒 ab 质量 m=0.005 kg,电阻 r=0.02 Ω,运动中与导轨良好接触,并且垂直于导轨,电阻 R=0.08 Ω,其余电阻不计,当金属棒从斜面上离地高 h=1.0 m 以上任何地方...
