第 5 课时三垂线定理斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．变式训练 1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔 AB，塔顶 A 到道路距离为 AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点 D，又测得 CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔 AB 的高度．解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10例 2．如图，矩形纸片 A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为 A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线 A1B1BC1；求证：A2CA1B1．解：取 A2B1中点 D1 A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1又 A1A2⊥面 A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2B1A1 B C A4A1A2 B1 C1 A3A2C1CBDABC基础过关∴C1D1⊥面 A1A2B1B ∴BD1是 BC1在面 A2B 上的射影由 A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影 A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形由 BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D∴A2C⊥A1B1 变式训练 2：如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4， M 为 AA1中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线长，设这条最短路线与 CC1交点N，求：(1) PC 和 NC 的长；(2) 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)大小．解：将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120°使其与侧面AA1C1C 在同一平面上，点 P 运动到点 P1的位置，连接 MP1，则 MP1就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到点M 的最短路线设 PC＝x，则 P1C＝x，在 Rt△MAP1中，由勾股定理得 x＝2∴PC＝P1C＝2 ∴NC＝(2) 连接 PP1，则 PP1就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线，作 NH⊥PP1于 H，又 CC1⊥平面 ABC，连结 CH，由三垂线定理得 CH⊥PP1∴∠NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成的平面角(锐角)在 Rt△PHC 中 ∠PCH＝∠PCP1＝60° ∴CH＝＝1在 Rt△PHC 中 tanNHC＝故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角大小为 arctan例 3.如图在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点．D1C1B1A1BADFCEA1C1B1MNCPBA(1) 试确定点 F 的位置，使得 D1E面 AB1F；(2) 当 D1E面 AB1F 时，求二面角 C1－EF－A 大小．解：(1) 连结 A1B，则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1内的射影 AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1于是 D1E⊥平面 AB1F D1E⊥AF连结 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影∴D1E⊥AFDE⊥AF ABCD 是正方形，E 是 B...
