第 2 课时 算术平均数与几何平均数例 1．设 a、bR ，试比较，，，的大小． 解： a、bR+，∴≥2即≤，当且仅当 a＝b 时等号成立．又≤＝ ∴≤当且仅当 a＝b 时等号成立． 而≤于是≤≤≤(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)．说明：题中的、、、分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．变式训练 1：（1）设，已知命题；命题，则是成立的 （ ）典型例题基础过关A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：B.解析： 是等号成立的条件（2）若为△ABC 的三条边，且，则（ ）A． B． C． D．解：D．解析：，又 ∴。（3）设 x > 0, y > 0,, ， a 与 b 的大小关系（ ） A．a >b B．a a2b3 + a3b2解：证：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 ) = a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) a, b 都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0又 a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2变式训练 3：比较下列两个数的大小：（1） （2）；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）,（2）（3）一般结论：若成立证明 欲证成立只需证也就是 （） 从而（*）成立，故 例 4. 甲、乙两地相距 S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过 c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度 v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数 b；固定部分为 a 元．(1) 试将全程运输成本 Y(元)表示成速度 V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为 y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，故所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)v∈(0,c)(2) s、a、b、v∈R+，故 s(＋bv)≥2s 当且仅当＝bv 时取等号，此时v＝若≤c 即 v＝时，全程运输成本最小．若>c，则当 v∈(0，c)时，y＝s(＋...
