2．5.1 几种函数增长快慢的比较[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．[预习导引]1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随 x 增大逐渐变陡随 x 增大逐渐变缓随 n 值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个 x0，使得当 x＞x0时，有 logax＜xn＜ax.要点一 函数模型的增长差异例 1 (1)当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A．y＝10000x B．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝x(2)四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于 x 呈指数函数变化的变量是________．答案 (1)D (2)y2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y＝x增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4均是从 2 开始变化，变量 y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，可知变量 y2关于 x 呈指数函数变化．规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x0，若 x＞x0，有 logax＜xn＜ax.跟踪演练 1 如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数．要点二 几...
