2.3.3 平面向量1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)＝( )A．4 B．3 C．2 D．0[解析] 因为|a|＝1，a·b＝－1，所以 a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.故选 B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则 λ＋μ 的最大值为( )A．3 B．2 C. D．2[ 解 析 ] 分 别 以 CB 、 CD 所 在 的 直 线 为 x 轴 、 y 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)．∵点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，∴可设 P.则AB＝(0，－1)，AD＝(－2,0)，AP＝.又AP＝λAB＋μAD，∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，其中 tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3.[答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________.[解析] 由已知得 2a＋b＝(4,2)．又 c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以 4λ－2＝0，解得 λ＝.[答案] 4．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点 A(－1,0)、B(2,0)，E、F 是 y 轴上的两个动点，且|EF|＝2，则AE·BF的最小值为________．[解析] 设 E(0，m)，F(0，n)，又 A(－1,0)，B(2,0)，∴AE＝(1，m)，BF＝(－2，n)．∴AE·BF＝－2＋mn，又知|EF|＝2，∴|m－n|＝2.① 当 m＝n＋2 时，AE·BF＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3.∴当 n＝－1，即 E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE·BF取得最小值－3.② 当 m＝n－2 时，AE·BF＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3.∴当 n＝1，即 E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE·BF取得最小值－3.综上可知，AE·BF的最小值为－3.[答案] －35．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则 λ 的值为________．[解析] 解法一：如图，由BD＝2DC得AD＝AB＋AC，所以AD·AE＝·(λAC－AB)＝λAB·AC－AB2＋λAC2－AB·AC，又AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AB2＝9，AC2＝4，所以AD·AE＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得 λ＝.解法二：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为 AB＝3，AC＝2，∠A＝60°，所以 B(3,0)，C(1，)，又BD＝2DC，所以 D，所以AD＝，而AE＝λAC－AB＝λ(1，)－(3,0)＝(λ－3，λ)，因此AD·AE＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得 λ＝.[答案] 1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第 3～7 或第 13～15 题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．
