第 6 讲 空间向量及运算[考纲解读] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义．2．能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题．预测 2021 年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式① 设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝□ .② 设点 P(x，y，z)，则与坐标原点 O 之间的距离为|OP|＝□ .(2)中点公式设点 P(x，y，z)为 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则□.2．空间向量的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b 均为非零向量)：1．概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( )(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( )(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量．( )(4)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四点共面．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．小题热身(1)如图，在四面体 ABCD 中，设 G 是 CD 的中点，则AB＋(BD＋BC)等于( )A.ADB.CDC.BGD.AG答案 D解析 因为 G 是 CD 的中点，所以BD＋BC＝2BG，所以AB＋(BD＋BC)＝AB＋BG＝AG.(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b答案 C解析 A，B，D 中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b，a－b不共面可以构成基底．(3)已知向量 a＝(2，－3,5)，b＝，且 a∥b，则 λ 等于________．答案 －解析 因为 a∥b，所以＝＝，所以 λ＝－.(4)已知 a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则 a，b 夹角的余弦值为________．答案 －解析 cos〈a，b〉＝＝－.题型 一 空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c ...
