第六节 双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线定义平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.(1)当 2 a <| F 1F2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当 2 a ＝ | F 1F2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当 2 a >| F 1F2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a 或 y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1 ，＋∞ ) ，其中 c＝虚轴线段实 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2 a ，线段 B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2 b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为 e＝.[常用结论]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为 bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线－＝1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．双曲线－＝1 的焦距为( )A．5 B. C．2 D．1C [由双曲线－＝1，易知 c2＝3＋2＝5，所以 c＝，所以双曲线－＝1 的焦距为 2.]3．(教材题改编)已...
