第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示一、知识梳理1．平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2．其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝．(2)向量坐标的求法① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；② 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝．3．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ．常用结论1．基底需要的关注三点(1)基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底 e1，e2，有 a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到2．共线向量定理应关注的两点(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示成＝，因为 x2，y2有可能等于 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0.( 2 )判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．3．两个结论(1)已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为.(2)已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为.二、教材衍化1．若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2的一个三等分点，则点 P 的坐标为( )A．(2，2) B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)解析：选 D.由题意得P1P＝P1P2或P1P＝P1P2，P1P2＝(3，－3)．设 P(x，y)，则P1P＝(x－1，y－3)，当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以 x＝2，y＝2，即P(2，2)；当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以 x＝3，y＝1，即 P(3，1)．故选 D.2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为________．解析：设 D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得答案：(1，5)3．已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则＝________．解析：由向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得 ma＋nb＝(2m－n，3m＋2...
