高考数学 考点一遍过 专题22 等差数列及其前n项和（含解析）理试题VIP免费

专题22等差数列及其前n项和（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（3）了解等差数列与一次函数的关系.一、等差数列1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即1nnaad，d为常数．2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2abA．3．等差数列的通项公式及其变形以1a为首项，d为公差的等差数列{}na的通项公式为1(1)naand．公式的变形：()nmaanmd，,mn*N．4．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)naand，可得1()nadnad．令pd，1qad，则napnq，其中p，q为常数．（1）当0p时，(,)nna在一次函数ypxq的图象上，数列{}na的图象是直线ypxq上均匀分布的一群孤立的点，且当0d时数列{}na为递增数列，当0d时数列{}na为递减数列．（2）当0p时，naq，等差数列为常数列，数列{}na的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．二、等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和首项为1a，末项为na，项数为n的等差数列{}na的前n项和公式：11()(1)==22nnnaannSnad．令2dp，12dqa，可得2nSpnqn，则①当0p，即0d时，nS是关于n的二次函数，点(,)nnS是2=ypxqx的图象上一系列孤立的点；②当0p，即0d时，nS是关于n的一次函数(0q，即10)a或常函数(0q，即10)a，点(,)nnS是直线yqx上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．2．用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}na的前n项和2nSanbnc，那么当且仅当0c时，数列{}na是以ab为首项，2a为公差的等差数列；当0c时，数列{}na不是等差数列．三、等差数列的性质1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d的等差数列na具有如下性质：（1）通项公式的推广：()nmaanmd，,mn*N．（2）若mnpq，则qpnmaaaa(,)mn,p,q*N．特别地，①若2mnp，则2mnpaaa(,)mn,p*N；②若mntpqr，则mntpqraaaaaa(,)mn,p,q,t,r*N．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.nniniaaaaaaLL（3）下标成等差数列的项2,,,kkmkmaaaL组成以md为公差的等差数列．（4）数列(,ntat是常数)是公差为td的等差数列．（5）若数列nb为等差数列，则数列nntab(,t是常数)仍为等差数列．（6）若,pqaqap，则0pqa．2．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列na（公差为d）和nb的前n项和分别为,nnST，（1）数列{}nSn是等差数列，首项为1a，公差为12d．（2）232(1),,,,,kkkkkmkmkSSSSSSSLL构成公差为2kd的等差数列．（3）若数列na共有2n项，则SSnd奇偶，1nnSaSa奇偶．（4）若数列na共有21n项，则SS奇偶na，(,1nSnSnaSn奇奇偶(1))nSna偶．（5）2121nnnnSaTb，21212121mmnnSamTnb．考向一等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()nnaadn*N或1(2,)nnaadnn*Nna是等差数列；②定义变形法：验证是否满足11(2,)nnnnaaaann*N；③等差中项法：122()nnnnaaana*N为等差数列；④通项公式法：通项公式形如(,napnqpq为常数)na为等差数列；⑤前n项和公式法：2(,nSpnqnpq为常数)na为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,nnnaaa，使得122nnnaaa即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．典例1已知数列na满足11a，122nnnaaa（*nN），1nnba.（1）证明：数列nb为等差数...