2.2 函数的单调性与最值考情分析1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．基础知识1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义[]一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2[当 x1＜x2时，都有 f ( x 1) ＜ f ( x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1＜x2时，都有 f ( x 1) ＞ f ( x 2)，那么就说函数 f (x )在区间 D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件.① 对于任意 x∈I，都有f(x)≤M；① 对于任意 x∈I，都有f ( x )≥ M ；② 存在 x0∈I，使得f(x0)＝M② 存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M.结论M 为最大值M 为最小值注意事项1.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数 y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．2.设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1＜x2，那么①＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．3.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．4.函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．典型例题题型一 函数的单调性的判断【例 1】（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2），， 令 ，得或，令 ，或∴单调增区间为；单调减区间为．【变式 1】 讨论函数 f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1
