第11练解三角形[明考情]解三角形是高考的必考内容，以“一大一小”的格局呈现，“一小”以选择题或填空题形式出现，难度为中档.[知考向]1.正弦定理、余弦定理.2.求三角形的面积.3.解三角形的综合应用.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.2.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c等于()A.2B.2C.4D.3答案B解析因为＝＝＝1，所以2cosC＝1，所以C＝.又S△ABC＝2，则absinC＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.3.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b等于()A.B.C.2D.3答案D解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.答案解析在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.5.在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.答案1解析由余弦定理知，cosA＝＝＝，由正弦定理，可得＝，所以＝＝2××cosA＝2××＝1.考点二求三角形的面积要点重组三角形的面积公式(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径).6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3答案C解析由c2＝(a－b)2＋6，得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理，得cosC＝＝，因为C＝，所以cosC＝＝，得ab＝6，则△ABC的面积S＝absinC＝.7.在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，则△ABC的面积的最大值为()A.B.C.D.3答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， AC·AB＝|AC－AB|＝3，即bccosA＝3，a＝3，∴cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0＜sinA≤，∴0＜tanA≤.∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，故△ABC面积的最大值为.8.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2bcosA，B＝，c＝1，则△ABC的面积为______.答案解析 a＝2bcosA，∴由正弦定理可得sinA＝2sinB·cosA. B＝，∴sinA＝cosA，∴tanA＝.又 A为三角形的内角，∴A＝.又B＝，∴C＝π－A－B＝，∴△ABC为等边三角形，∴S△ABC＝acsinB＝×1×1×＝.9.(2017·原创押题预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＝，且a，b，c成等比数列，△ABC的面积S＝，则a＋c＝________.答案3解析因为cosB＝，所以B∈，所以sinB＝＝.由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，由S＝acsinB＝ac×＝，可得ac＝13.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，即13＝(a＋c)2－2×13×，整理得(a＋c)2＝63，故a＋c＝3.10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.答案8解析 cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.考点三解三角形的综合应用方法技巧利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换并结合平面几何知识，可以解决三角形形状判断、取值范围及实际应用等问题.11.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于()A.B.C.－D.－答案C解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝AD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－.12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三...
