第16练圆锥曲线的定义、方程与性质[明考情]圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等，题目难度中档偏难.[知考向]1.圆锥曲线的定义与标准方程.2.圆锥曲线的几何性质.3.圆锥曲线的综合.考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法.1.(2017·九江二模)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1·PF2＝9，则|PF1|·|PF2|的值为()A.8B.10C.12D.15答案D解析 点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝4，PF1·PF2＝9，即|PF1|·|PF2|cosθ＝9，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－18＝64－2|PF1|·|PF2|－18＝16，∴|PF1|·|PF2|＝15.2.(2017·洛阳统考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析 －＝1的焦距为10，∴c＝5＝，①又双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b，②由①②得a＝2，b＝，∴双曲线的方程为－＝1，故选A.3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为()A.x＝－2B.x＝2C.x＝1D.x＝－1答案D解析因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±x.又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程得A，B.在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·p·＝，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.4.(2017·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D.x2－＝1答案D解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y＝x上).由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D.5.(2017·甘肃肃南裕固族自治县一中期末)抛物线y＝－x2上的动点M到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________.答案4解析由题意得焦点F(0，－1)，设A(1，－3)，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|yM|＋1≥|yA|＋1＝4.考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.方法技巧求离心率的两种方法(1)定义法：求出a，c，代入e＝进行求解.(2)方程法：只需根据一个条件得到关于a，b，c的各项式，然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.6.已知A是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若GA＝λPF1，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.4D.与λ的取值有关答案B解析因为GA＝λPF1，所以GA∥PF1，所以＝＝(O为坐标原点)，即＝，所以e＝＝3.7.(2017·广安模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.－1B.2－C.－1D.2－答案A解析根据题意，如图，设F(c，0)，由△OAF是等边三角形，则A，又A在椭圆上，则有＋＝1，①a2＝b2＋c2，②联立①②，解得c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1.8.(2017·全国Ⅲ)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.答案5解析 双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.9.(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示. 四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2.又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又 a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.10.设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的...
