26年中考数学几何模型解读与训练专题21相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（学生版+名师详解版）

专题 21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menelaus，公元 98 年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图 1，如果一条直线与的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图 1，若 F、D、E 分别是的三边 AB、BC、CA 或其延长线的三点，如果，则 F、D、E 三点共线． 图 1 图 2 塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在 1678 年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC 内任取一点 G，延长 AG、BG、CG 分别交对边于 D、E、F，如图 2，则 。注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例 1.（2025.浙江九年级期中）如图，在中，AD 为中线，过点 C 任作一直线交 AB 于点 F，交 AD 于点 E，求证：．例 2.（2025.重庆九年级月考）如图，在中，，．AM 为 BC 边上的中线，于点 D，CD 的延长线交 AB 于点 E．求．例 3.（2025.湖北九年级期中）如图，点 D、E 分别在的边 AC、AB 上，，，BD 与CE 交于点 F，．求．FDECBA例 4.（2025.江苏九年级月考）已知 AD 是的高，点 D 在线段 BC 上，且，，作于点 E，于点 F，连接 EF 并延长，交 BC 的延长线于点 G，求 CG．例 5.（2025.广东九年级专项训练）如图，在中，的外角平分线与边 BC 的延长线交于点 P，的平分线与边 CA 交于点 Q，的平分线与边 AB 交于点 R，求证：P、Q、R 三点共线．例 6．（2025 上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图 1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图 2，过点作，交的延长线于点，则有，，∴，．请用上述定理的证明方法解决以下问题： （1）如图 3，三边的延长线分别交直线 于三点，证明：．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图 4，等边的边长为 3，点为的中点，点在上，且与...