（课标通用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 利用空间向量求空间角学案 理-人教版高三全册数学学案

§8.7 利用空间向量求空间角考纲展示► 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考点 1 异面直线所成的角两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中φ 为异面直线 a，b 所成的角)．空间角的范围处理错误．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l与 α 所成的角为________．答案：30°解析：设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.[典题 1] (1)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.[答案] C[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz，设 BC＝2，则 B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值cos θ＝＝＝.(2)如图，在正方形 ABCD 中，EF∥AB，若沿 EF 将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则 AF 与 CE 所成角的余弦值为________．[答案] [解析] AE∶ED∶AD＝1∶1∶，∴AE⊥ED，即 AE，DE，EF 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB＝EF＝CD＝2，则 E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，∴AF＝(－1,2,0)，EC＝(0,2,1)，∴cos〈AF，EC〉＝＝＝，∴AF 与 CE 所成角的余弦值为.[点石成金] 1.利用向量法求异面直线所成角的步骤2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．考点 2 直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝.(1)[教材习题改编]若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l与平面 α 所成的角等于________．答案：30°解析：根据线面角的定义易知为 30°.(2)[教材习题改编]如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是________．答案：30°解析：cos〈a，b〉＝＝，因此 a 与 b 的夹角为 30°，即斜线与平面的夹角也为 30°.(3)[教材习题...