§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值考纲展示► 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．会用导数解决实际问题．考点 1 利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．答案：增函数 减函数(1)[教材习题改编]函数 f(x)＝ex－2x 的单调递增区间是________．答案：(ln 2，＋∞)(2)[教材习题改编]求 f(x)＝x＋cos x，x∈R 的单调区间．解：f′(x)＝1－sin x≥0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，即(－∞，＋∞)是 f(x)的单调递增区间．导数符号与单调性．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋ax 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为__________．答案：[0,3]解析：依题意， f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0 恒成立，所以 Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3.[典题 1] 设函数 f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.(1)求 b，c 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数 a 的取值范围．[解] (1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)，得 f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)．① 当 a＝0 时，f′(x)＝x2≥0 恒成立，即函数 f(x)在(－∞，＋∞)内为单调增函数．② 当 a>0 时，由 f′(x)>0 得，x>a 或 x<0；由 f′(x)<0 得，0
0 得，x>0 或 x
