§4.5 三角函数的图象和性质考纲展示► 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质．考点 1 三角函数的定义域与值域正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z).(1)[教材习题改编]函数 y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是 3，则它的最小值是________．答案：－1解析：依题意，得 A＋1＝3，所以 A＝2，所以函数 y＝2sin x＋1 的最小值为 1－2＝－1.(2)[教材习题改编]不等式 2cos x>1 的解集为________．答案： 解析：不等式 2cos x>1，即 cos x>，作出 y＝cos x 的图象(图略)，得解集为.求三角函数最值(值域)的两种方法：化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式来求；换元法．(1)[2013·天津卷改编]函数 f(x)＝sin 在区间上的最小值为________．答案：－ 解析：由 x∈，得 2x－∈，所以 sin∈，故函数 f(x)＝sin 在区间上的最小值为－.(2)已知 x∈，则函数 y＝－cos2x＋cos x＋1 的最小值为________．答案：解析：y＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，令 t＝cos x，因为 x∈，所以－≤t≤，所以当 t＝cos x＝－时，ymin＝－2＋＝.[典题 1] (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．[答案] ，k∈Z[解析] 要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋有意义，则即解得 2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.即函数的定义域为，k∈Z.(2)函数 y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为________．[答案] 2－[解析] 0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，故－≤2sin≤2.即函数 y＝2sin(0≤x≤9)的最大值为 2，最小值为－.所以最大值与最小值的和为 2－.[题点发散 1] 若将本例(2)中的函数换为“y ＝ 3 － sin x － 2cos 2 x ，x∈”，如何解决？解： x∈，∴sin x∈.又 y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，∴当 sin x＝时，ymin＝；当 sin x＝－或 sin x＝1 时，ymax＝2.故函数的最大值与最小值的和为 2＋＝.[ 题 点 发 散 2] 若 将 本 例 (2) 中 的 函 数 换 为 “ y ＝ sin x － cos x ＋ sin xcos x，x∈[0，π]”，如何求解？解：令 t＝sin x－cos x，又 x∈[0，π]，∴t＝sin，t∈[－1， ]．由 t＝sin x－cos x，得 t2＝1－2sin xcos x，即 sin xcos x＝.∴原函数变为 y＝t＋，t∈[－1， ]．即 y＝－t2＋t＋.∴当 t＝1 时，ymax＝－...
