第 2 课时 分段函数与映射学 习 目 标核 心 素 养1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．1．分段函数如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．映射设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射．1．已知集合 A＝{a，b}，集合 B＝{0，1}，下列对应不是 A 到 B 的映射的是( )A B C DC [选项 C 中不但 b 元素没有对应的元素，而且元素 a 所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选 C.]2．下列给出的式子是分段函数的是( )①f(x)＝② f(x)＝③f(x)＝④ f(x)＝A．①② B．①④C．②④ D．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选 B.]3．函数 f(x)＝则 f(f(4))＝________．0 [ f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]分段函数的求值问题【例 1】 已知函数 f(x)＝(1)求 f(－5)，f(－)，f 的值；(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. f＝－＋1＝－，而－2<－<2，∴f＝f＝＋2×＝－3＝－.(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2
