§3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.2.会根据函数的增长差异选择函数模型．知识点一 函数模型一般地，设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二 三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表. 函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随 x 的增大逐渐变“陡”随 x 的增大逐渐趋于稳定随 n 值而不同增长速度ax的增长快于 xn的增长，xn的增长快于 logax 的增长增长后果会存在一个 x0，当 x>x0时，有 a x > x n >log ax1．先有实际问题，后有模型．( √ )2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( √ )3．增长速度越来越快的一定是指数函数模型．( × )4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意 x∈R 恒有 ax>x2(a>1)．( × )类型一 几类函数模型的增长差异例 1 (1)下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50xB．y＝x50C．y＝50xD．y＝log50x(x∈N*)考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 C解析 四个函数中，增长速度由慢到快依次是 y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函数 y＝2x－x2的大致图象为( )考点 三种函数模型增长的差异题点 三种函数模型增长速度的差异答案 A解析 在同一平面直角坐标系内作出 y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当 x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时 y＞0；当 x∈(2,4)时，2x＜x2，即 y＜0；当 x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即 y＞0；当 x＝－1 时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项 A 中的图象符合条件．反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个 x0，当 x＞x0时，就有 logax＜xn＜ax.跟踪训练 1 函数 f(x)＝的大致图象为( )考点 三种函数模型增长...
