习题课 函数的应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点).1.函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 令 f(x)＝ex＋3x＝0，即 ex＝－3x，在同一坐标系中作出函数 y＝ex和 y＝－3x 的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即 f(x)有 1 个零点.答案 B2.已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为( )A.，0 B.－2，0C. D.0解析 当 x≤1 时，由 f(x)＝0，得 2x－1＝0，所以 x＝0.当 x>1 时，由 f(x)＝0，得 1＋log2x＝0，所以 x＝，不成立，所以函数的零点为 0，选 D.答案 D3.函数 f(x)＝ax2＋x－1 至少存在一个零点，则 a 的取值范围是________.解析 当 a＝0 时，f(x)＝x－1 有一个零点 x＝1；当 a≠0 时，则 Δ＝1＋4a≥0，解得 a≥－且 a≠0，综上 a 的取值范围是 a≥－.答案 4.生产某机器的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝x2－75x，若每台机器售价为 25 万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.解析 设生产 x 台，获得利润 f(x)万元，则 f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当 x＝50 时，获得利润最大.答案 50考查方向 类型一 函数的零点方向 1 判断函数零点所在的区间【例 1－1】 函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1) B.(－1，0)C.(0，1) D.(1，2)解析 由 f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0 及零点存在性定理，知 f(x)的零点在区间(－1，0)上.答案 B方向 2 判断函数零点(方程的根)的个数【例 1－2】 方程|x|－＝0(a>0)的根有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.至少 1 个解析 令 f(x)＝|x|，g(x)＝(a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有 1 个.故方程|x|－＝0(a＞0)只有一个实根.答案 A方向 3 根据函数零点求参数的取值范围【例 1－3】 已知函数 f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为________.解析 设 y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.在同一平面直角坐标系中作出 y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象，如图.由图可知 f(x)－a|x－1|＝0 有 4 个互异的实数根等价于 y1＝|x2＋3x|与 y2＝a|x－1|的图象有 4 个不同的交点...
