二、跳出题海——名师绝招破解13大难点难点1构造法解f(x)与f'(x)均存在的问题高考中有一难点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度,下面总结其基本类型及其处理方法.类型一f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型典例1(1)设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.答案(1)A(2)(-∞,-3)∪(0,3)解析(1)令g(x)=,则g'(x)=,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数. f(x)是奇函数,f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)==0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又 f(x)是奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).(2)借助导数的运算法则,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0⇔[f(x)g(x)]'>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由分析知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0),(0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).点拨(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地,对于不等式f'(x)>k(或0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0);(5)对于不等式xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);(6)对于不等式xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(x≠0).1.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R都有f'(x)<,则不等式f(x2)>的解集为()A.(1,2)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,1)2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若axf'(x)恒成立,则x2f-f(x)>0的解集为.类型二xf'(x)±nf(x)型典例2设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x2,则下列不等式在R上恒成立的是()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)0时,g'(x)>0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x<0时,g'(x)<0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x=0时,由题意可得2f(0)>0,∴f(0)>0.综上可知,f(x)>0.解法二: 2f(x)+xf'(x)>x2,∴令x=0,则f(0)>0,故可排除B,D,不妨令f(x)=x2+0.1,则已知条件2f(x)+xf'(x)>x2成立,但f(x)>x不一定成立,故C也是错误的,故选A.点拨(1)对于xf'(x)+nf(x)>0型,构造F(x)=xnf(x),则F'(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)](注意对xn-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf'(x)+f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0;(2)对于xf'(x)-nf(x)>0(x≠0)型,构造F(x)=,则F'(x)=(注意对xn+1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf'(x)-f(x)>0,构造F(x)=,则F'(x)=>0.1.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f'(x),对任意正实数x满足xf'(x)>-2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)2f(x),则下列不等式成立的是()A.20172f(2018)>20182f(2017)B.20172f(2018)<20182f(2017)C.2017f(2018)>2018f(2017)D.2017f(2018)<2018f(2017)类型三λf(x)±f'(x)(λ为常数)型典例3(1)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f'(x),则有()A.e2019f(-2019)e2019f(0)B.e2019f(-2019)f(0),f(2019)>e2019f(0)D.e2019f(-2019)>f(0),f(2019)0恒成立,且f...
