课时作业14导数与函数的单调性一、选择题1．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(A)A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)解析： f′(x)＝2x－＝(x>0)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(C)A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：由题意得，x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为af(b)>f(a)，故选C.3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(D)解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．4．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是(A)A.，(0，＋∞)B.∪(0，＋∞)C.D.解析：f′(x)＝2x(x－m)＋x2， f′(－1)＝－1，∴－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2，∴f′(x)＝2x(x＋2)＋x2.令2x(x＋2)＋x2>0，解得x<－或x>0，∴函数f(x)的单调递增区间是，(0，＋∞)．5．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．6．定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>2，且f(1)＝3，则不等式f(x)>2x＋1的解集为(C)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)解析：f(x)>2x＋1的解集即f(x)－2x－1>0的解集．构造函数g(x)＝f(x)－2x－1，则g′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以g′(x)＝f′(x)－2>0，所以g(x)＝f(x)－2x－1在R上单调递增，且g(1)＝f(1)－2－1＝0，所以f(x)－2x－1>0的解集为(1，＋∞)，即不等式f(x)>2x＋1的解集为(1，＋∞)．故选C.7．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(C)A．[1，＋∞)B．[1,2)C．[1，)D．[，2)解析：f′(x)＝4x－＝，令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0fB.f>fC．f>fD.f>f解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，即函数g(x)在上单调递减，所以g>g，所以f>f，同理，g>g，即f>f，故选CD.二、填空题9．函数f(x)＝－sinx，x∈的单调递减区间是.解析：f′(x)＝－cosx，x∈，令f′(x)<0，得x∈，故f(x)在上的单调递减区间为.10．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是[1，＋∞)．解析：f′(x)＝3x2－2ax－1，由已知得3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，即a≥x－在(0,1)内恒成立，令g(x)＝x－，又当x∈(0,1)时，g(x)＝x－的值域为(－∞，1)，∴a≥1.11．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，则x2f－f(x)>0的解集为(1，＋∞)．解析：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>xf′(x)⇔xf′(x)－f(x)<0⇔′<0.令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又当x∈(0，＋∞)时，不等式x2f－f(x)>0⇔>，则0<0.(1)当m＝2时，求f(x)的极大值；(2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性．解：(1)当m＝2时，f(x)＝lnx＋－x，f′(x)＝－－1＝－(x>0)，当02时，f′(x)<0，当0，∴f(x)在(0，)和(2，＋∞)上单调递减，在(，2)上单调递增，∴f(x)的极大值为f(2)＝ln2－.(2)f′(x)＝－－1＝－(x>0，m>0)，故当01时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增．13．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋b.(1)若f(x)与g(x)的图象在x＝1处相切，求g(x)的表达式；(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝，所以f′(1...
