课时知能训练一、选择题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】 cos〈m，n〉＝－，∴〈m，n〉＝120°.故直线l与α所成的角θ＝120°－90°＝30°.【答案】A2．(2012·青岛模拟)已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2,4D．4，，－15【解析】 AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则解得【答案】B图7－7－133．如图7－7－13所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)．∴EF·BC1＝2.∴cos〈EF，BC1〉＝＝.∴EF和BC1所成的角为60°.【答案】B图7－7－144．如图7－7－14，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．∴BC1＝(－2,0,1)，AC＝(－2,2,0)，且AC为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈BC1，AC〉＝＝＝.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.【答案】D5．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°【解析】如图所示，二面角的大小就是〈AC，BD〉． CD＝CA＋AB＋BD∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·BD∴CA·BD＝[(2)2－62－42－82]＝－24.因此AC·BD＝24，cos〈AC，BD〉＝＝，∴〈AC，BD〉＝60°，故二面角为60°.【答案】C二、填空题图7－7－156．如图7－7－15所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．【解析】设PD＝a，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)．∴DP＝(0,0，a)，AE＝(－1,1，)．由cos〈DP，AE〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．【答案】(1,1,1)7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．【解析】以A为原点建系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1，0)．∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝(1,0，－)，设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴∴n1＝(1,2,2)， 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.∴所成的锐二面角的余弦值为.【答案】图7－7－168．如图7－7－16所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．【解析】分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． A1M＝AN＝a，∴M(a，a，)，N(a，a，a)，∴MN＝(－，0，a)．又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴C1D1＝(0，a,0)．∴MN·C1D1＝0，∴MN⊥C1D1. C1D1是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.【答案】平行三、解答题图7－7－179．如图7－7－17，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点．(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．【解】证明如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，F(a,0,0)，G(a，a,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，D(0,0,2a)．(1)AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a)，设平面AGC的法向量为n＝(x，y，z)，则AG⊥n，AC⊥n，∴AG·n＝0，AC·n＝0，故，∴，∴n＝(－y，y，－y)；设平面BGC的法向量m＝(x1，y1，z1)，则BG·m＝0，BC·m＝0，又BG＝(a，－a,0)，BC＝(0,0,2a)，∴，∴m＝(x1，x1,0)．∴n·m＝－x1y＋x1...
