1．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴A＝.(2)由(1)可得m＝，n＝.∴||＝p，||＝q.∴S△ABC＝||·||·sinA＝pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，∴·≤，即·≤3.∴p·q≤9.故△ABC的面积的最大值为×9＝.2．某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]分组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每名工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20,30)3018[30,40)3624[40,50)129[50,60]43(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数；(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)由频率分布直方图知，在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内的人数的频率分别为0.35,0.4,0.15,0.1.∵0.35×40＝14,0.4×40＝16,0.15×40＝6,0.1×40＝4，∴在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内应抽取的人数分别为14,16,6,4.(2)∵在年龄段[20,30)内的人数为120×0.35＝42(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为＝；B项培训结业考试成绩优秀的概率为＝，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为×＝.∵在年龄段[30,40)内的人数为120×0.4＝48(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为＝；B项培训结业考试成绩优秀的概率为＝，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为×＝.由题设知，X的可能取值为0,1,2，∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，∴X的分布列为X012PX的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.3．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．(1)求{an}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，记cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋，即＝，由是等差数列，得到则d＝且d＝2a1＞0，所以d＝，a1＝＝，an＝＋(n－1)·＝.(2)由b1＝a1＝，b2＝a2＝，b3＝a5＝，得等比数列{bn}的公比q＝3，所以bn＝×3n－1，所以cn＝＝＝－，Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，＝λ(λ∈R)．(1)当λ＝时，求证：AB1⊥平面A1BD;(2)当二面角AA1DB的大小为时，求实数λ的值．解：(1)证明：取BC的中点O，连接AO.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面CBB1C1，且△ABC为正三角形，所以AO⊥BC，AO⊥平面CBB1C1.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0，)，B1(1,2,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，B(1,0,0)．所以＝(1,2，－)，＝(1,1，)，＝(2，－1,0)．因为·＝1＋2－3＝0，·＝2－2＝0，所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB＝D，所以AB1⊥平面A1BD.(2)由(1)得D(－1,2λ，0)，所以＝(1,2－2λ，)，＝(2，－2λ，0)，＝(1，－2λ，)．设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，平面AA1D的一个法向量为n2＝(s，t，u)，由得平面A1BD的一个法向量为n1＝.同理可求得平面AA1D的一个法向量为n2＝(，0，－1)，由|cos〈n1，n2〉|＝＝，解得λ＝，故λ的值为.
