3.1.2空间向量的数乘运算双基达标限时20分钟1．给出的下列几个命题：①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为()．A．0B．1C．2D．3解析①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0，则有无数多个λ使之成立．答案B2．设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则()．A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.AB与AP的方向一定相同解析已知m＋n＝1，则m＝1－n，OP＝(1－n)OA＋nOB＝OA－nOA＋nOB⇒OP－OA＝n(OB－OA)⇒AP＝nAB.因为AB≠0，所以AP和AB共线，即点A，P，B共线，故选A.答案A3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()．A．1B．0C．3D.解析∵OM＝xOA＋OB＋OC，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝，故选D.答案D4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．解析根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．答案②④5．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝______．解析BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得AB＝λBD，∴＝.∴k＝－8.答案－86．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量EF与AD＋BC是否共线？解取AC中点为G.连接EG，FG，∴GF＝AD，EG＝BC，又∵GF，EG，EF共面，∴EF＝EG＋GF＝AD＋BC＝(AD＋BC)，∴EF与AD＋BC共线．综合提高（限时25分钟）7．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析若x＋y＋z＝1，则OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC，即AP＝yAB＋zAC，由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，OA＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故选B.答案B8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于()．A．2OA－OBB．－OA＋2OBC.OA－OBD．－OA＋OB解析由已知得2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，∴OC＝2OA－OB.答案A9．如图所示，在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝______(用a，b，c表示)．解析OE＝OA＋AE＝a＋AD＝a＋(OD－OA)＝a＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c.答案a＋b＋c10．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使AB＝kAC，即OB－OA＝k(OC－OA)，∴(k－1)OA＋OB－kOC＝0，又λOA＋mOB＋nOC＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案011．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B、B1C、EF是共面向量．证明法一EF＝EB＋BA1＋A1F＝B1B－A1B＋A1D1＝(B1B＋BC)－A1B＝B1C－A1B.由向量共面的充要条件知，A1B、B1C、EF是共面向量．法二连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，则有FG綉DD1，BE綉DD1，∴FG綉BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴A1B、B1C、EF都与平面A1BD平行．∴A1B、B1C、EF共面．12．(创新拓展)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)证明E，F，G，H四点共面；(2)证明BD∥平面EFGH.证明如图，连结EG，BG.(1)∵EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．(2)法一∵EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD，∴EH∥BD.又EH⊂面EFGH，BD⊄面EFGH，∴BD∥面EFGH.法二∵BD＝BA＋AD＝2EA＋2AH＝2EH＝2(EG＋GH)＝2EG＋2GH，又EG，GH不共线，∴BD与EG，GH共面．又BD⊄面EFGH，∴BD∥面EFGH.
