3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示双基达标限时20分钟1．对于空间中的三个向量a，b，2a－b.它们一定是()．A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．以上均不对答案A2．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是()．A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC解析对于选项A，由结论OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC共面；对于B，D选项，易知MA，MB，MC共面，故只有选项C中MA，MB，MC不共面．答案C3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若OC＝AB，则C的坐标是()．A.B.C.D.解析设点C坐标为(x，y，z)，则OC＝(x，y，z)．又AB＝(－3，－2，－4)，OC＝AB，∴x＝－，y＝－，z＝－.答案A4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为____________．解析a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，2，－3)．答案(2，－4，5)(1，2，－3)5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．解析{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，但反之不成立，故p是q的充分不必要条件．答案充分不必要6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．试写出正方体八个顶点的坐标．解设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量．因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝.由于点B在x轴的正半轴上，所以OB＝i，即点B的坐标为(，0，0)．同理可得C(0，，0)，D(－，0，0)，A(0，－，0)．又OB1＝OB＋BB1＝i＋2k，所以OB1＝(，0，2)．即点B1的坐标为(，0，2)．同理可得C1(0，，2)，D1(－，0，2)，A1(0，－，2)．综合提高（限时25分钟）7．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN为()．A.a＋b＋cB.a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c解析如图所示，连接ON，AN，则ON＝(OB＋OC)＝(b＋c)，AN＝(AC＋AB)＝(OC－2OA＋OB)＝(－2a＋b＋c)＝－a＋b＋c，所以MN＝(ON＋AN)＝－a＋b＋c.答案C8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k∴点A在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．答案A9．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________．解析构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．答案③④⑤(答案不唯一，也可以有其它的选择)10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记AB＝a，AC＝b，AA＝c，则DE＝________(用a，b，c表示)．解析DE＝DA1＋A1E＝AA1＋(A1B1＋A1C)＝AA1＋(AB＋AC－AA1)＝c＋(a＋b－c)＝a＋b.答案a＋b11．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.解连接AC，AD′.(1)AP＝(AC＋AA′)＝(AB＋AD＋AA′)＝(a＋b＋c)．(2)AM＝(AC＋AD′)＝(AB＋2AD＋AA′)＝(a＋2b＋c)．(3)AN＝(AC′＋AD′)＝[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]＝(AB＋2AD＋2AA′)＝a＋b＋c.(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋(AA′－AC)＝AC＋AA′＝AB＋AD＋AA′＝a＋b＋c.12．(创新拓展)已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．解假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k∵{i，j，k}是一组基底，∴i，j，k不共面，∴解之得故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．
