第三章空间向量与立体几何本章归纳整合高考真题1．(2011·课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．证明(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)解如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．AB＝(－1，，0)，PB＝(0，，－1)，BC＝(－1，0，0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)．cos〈m，n〉＝＝－.故二面角APBC的余弦值为－.2．(2011·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.(2)解设AC∩BD＝O，因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)．所以PB＝(1，，－2)，AC＝(0，2，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝||＝＝.(3)解由(2)知BC＝(－1，，0)．设P(0，－，t)(t>0)，则BP＝(－1，－，t)．设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，则BC·m＝0，BP·m＝0.所以令y＝，则x＝3，z＝.所以m＝(3，，)．同理，平面PDC的法向量n＝(－3，，)．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0，解得t＝.所以PA＝.3．(2011·山东高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小．(1)证明因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°.所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，因此FG∥AM且FG＝AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.(2)解因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°.又EA⊥平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直．分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得A(0，0，0)，B(2，－2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，1)，所以AB＝(2，－2，0)，BC＝(0，2，0)．又EF＝AB，所以F(1，－1，1)，BF＝(－1，1，1)．设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·BC＝0，m·BF＝0，所以取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1，0，1)．设平面向量ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·AB＝0，n·BF＝0，所以取y2＝1，得x2＝1，则n＝(1，1，0)．所以cos〈m，n〉＝＝.因此二面角ABFC的大小为60°.4．(2011·辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值．解如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则DQ＝(1，1，0)，DC＝(0，0，1)，PQ＝(1，－1，0)．所以PQ·DQ＝0，PQ·DC＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，CB＝(1，0，0)，BP＝(－1，2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则可取m＝(1，1，1)，所以cos〈m，n〉＝－.故二面角QBPC的余弦值为－.5．(2011·天津高考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值．解如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意...
