专题强化训练(十四)解析几何一、选择题1．[2019·福建五校联考]已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线＋＝1的离心率是()A．2B.C.D．2或解析：因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为－＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝＝2；若m＝6，则曲线的方程为＋＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝＝.综上，所求离心率是2或.故选D.答案：D2．[2019·南昌重点中学]已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，若E的一个焦点F关于l1的对称点F′在l2上，则双曲线E的离心率为()A.B．2C.D.解析： 双曲线E的一个焦点F关于l1的对称点F′在l2上，且双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，∴x轴和直线l2关于直线l1对称，又双曲线E的两条渐近线l1，l2关于x轴对称，∴＝tan60°＝，∴双曲线E的离心率e＝＝2，故选B.答案：B3．[2019·广东六校联考]已知直线l的倾斜角为45°，直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为()A.B.C.－1D.解析：根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2|.设点M(－c，y0)，则N(c，－y0)，－＝1，即|y0|＝.由直线l的倾斜角为45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，得|y0|＝c，即＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.答案：D4．[2019·湖南四校调研]已知A，B，P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为()A.B.C．2D．3解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则－＝1，－＝1，又kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝＝＝3，所以离心率e＝＝2，故选C.答案：C5．[2019·洛阳统考]经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－y2＝1C.－＝1D.－＝1解析：通解：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得＝1，解得k＝±.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(2,1)代入可得－＝1，由，得，故所求双曲线的方程为－＝1.故选A.优解：设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，将(2,1)代入方程可得，4m－n＝1①.双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0,2)，半径为1，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得＝1，即＝3②，由①②可得m＝，n＝，所以该双曲线的方程为－＝1，故选A.答案：A6．[2019·郑州质量预测一]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为()A．8B．9C．10D．11解析：由题意，知2a＝6，a＝3，又由＝，得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝＋5＝9，故选B.答案：B7．[2019·安徽示范高中]已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为()A.B.C.D．2解析：由题意知F1(－c,0)，因为MF1与x轴垂直，且M在双曲线上，所以|MF1|＝.在Rt△MF2F1中，sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝，即＝＝，又b2＝c2－a2，所以c2－a2－2ac＝0，两边同时除以a2，得e2－2e－＝0，又e>1，所以e＝.答案：A8．[2019·唐山摸底]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：由题意可知，×＝1⇒c＝a，因为c＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，不妨设P与F2在y轴右侧，则，得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，所以△F1PF2为直角三角形，故选B.答案：B9．[2019·武昌调研]已知M为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，...
