小题考法专训（七）圆锥曲线的方程与性质A级——保分小题落实练一、选择题1．一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D．－＝1解析：选B设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1.2．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.B．1C.D．2解析：选B设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝4×1，解得y0＝±2，不妨取P(1,2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.3．(2020届高三·江西七校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选D因为双曲线中c2＝a2＋b2，所以e＝＝＝＝，所以＝±，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.4．已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线＋＝1的离心率是()A．2B．C.D．2或解析：选D因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为－＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝＝2；若m＝6，则曲线的方程为＋＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝＝.综上，所求离心率是2或.5．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝()A．2B．3C．4D．2＋1解析：选C设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4.6．已知F1，F2是双曲线E的左、右焦点，点P在双曲线E上，∠F1PF2＝且(F2F1＋F2P)·F1P＝0，则双曲线E的离心率e＝()A.－1B．＋1C.D．解析：选D由题意知，△F2PF1是等腰三角形，|F1F2|＝|F2P|＝2c，因为∠F1PF2＝，所以|PF1|＝2c，由双曲线的定义，可得2c－2c＝2a，所以双曲线E的离心率e＝＝，故选D.7．(2019·大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A.B．C.D．解析：选C由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析：选C设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x，故选C.9．已知直线l的倾斜角为45°，直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为()A.B．C.－1D．解析：选D根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2|.设点M(－c，y0)，则N(c，－y0)，－＝1，即|y0|＝.由直线l的倾斜角为45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，得|y0|＝c，即＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.10．(2019·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A.B．C.D．解析：选B FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－. AB的中点为M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为，故选B.11．(2019·合肥模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为()A．4或8B．2或4C．2或8D．4或16解析：选C抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，∴F，准线方程为x＝－.如图，设准线与x轴的交点为K，则|KF|＝p.过M作MP平行于x轴交准线于P，则|MP|＝|MF|＝5.取MF的中点为N，过N作NQ平行于x轴交准线于Q，交y轴于A，则|NQ|＝＝＋，|AN|＝|NQ|－＝＝，∴以MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，A(0,2)，∴N，故M，∴16＝2p，p2－10p...
