问题3导数背景下零点问题一、考情分析近几年高考命题情况来看,对这部分内容的考查题型有小题也有大题,作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题,在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型：(1)确定函数零点图象交点及方程根的个数问题；(2)根据函数零点图象交点及方程根的个数求参数的值或取值范围问题．二、经验分享(1)用导数确定函数零点或方程根个数的方法：①构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)＝0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解②利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.(2)解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：①在该区间上构造与方程相应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的单调性,若是单调函数,则进行下一步；③判断该函数在该区间端点处的函数值异号；④得出结论.(3)在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．三、知识拓展三次函数的零点对于三次函数的导函数为fx,1.若恒成立,则fx是增(减)函数,fx有1个零点；2.若0fx有两个不同实根12,xx,⑴若,则fx有2个零点；⑵若,则fx有1个零点；⑶若,则fx有3个零点.四、题型分析(一)确定函数零点或方程根的个数问题【例1】【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k=0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【解析】（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点评】证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.【小试牛刀】【启东中学2018届高三上学期月考】设1a,函数.（1）证明在0,1a上仅有一个零点；（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:【解析】（1）,0fx,在,上为增函数．1a,,又,,即,由零点存在性定理可知,fx在,上为增函数,且,fx在0,1a上仅有一个零点.（2）,设点00,Pxy,则,yfx在点P处的切线与x轴平行,,01x,,,点M处切线与直线OP平行,点M处切线的斜率,又题目需证明,即,则只需证明,即1mme.令,则,易知,当,0m时,...
