第96练高考大题突破练—概率与统计[基础保分练]1．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙都在三到四小时内还车的概率和甲、乙两人所付租车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)．2．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二年级学生和15名高一年级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用．问：(1)应从该兴趣小组中抽取高一年级和高二年级的学生各多少人；(2)已知该地区有X，Y两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二年级学生都租X型车，高一年级学生都租Y型车．①如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租X型车的概率；②已知该地区X型车每小时的租金为1元，Y型车每小时的租金为1.2元，设ξ为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求ξ的均值．3．(2018·南京调研)某同学在上学路上要经过A，B，C三个带有红绿灯的路口，已知他在A，B，C三个路口遇到红灯的概率依次是，，，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的．(1)求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X，求X的概率分布与均值E(X)．[能力提升练]4．(2018·南通模拟)已知正六棱锥S－ABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．(1)求概率P(X＝)的值；(2)求X的概率分布，并求其均值E(X)．答案精析1．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋×＝，P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝6)＝×＋×＝，P(ξ＝8)＝×＝，故ξ的概率分布为ξ02468PE(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.2．解(1)依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为×7＝3，高二学生的人数为×7＝4.(2)①方法一所求的概率P＝＝.方法二所求概率P＝1－＝.②从小组内随机抽取3人，得到的ξ的可能取值为3，3.2，3.4,3.6.因为P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝3.2)＝＝，P(ξ＝3.4)＝＝，P(ξ＝3.6)＝＝，故ξ的均值E(ξ)＝3×＋3.2×＋3.4×＋3.6×＝3.3．解(1)设这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以P(A)＝××＝.答这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率为.(2)X的所有可能取值为0,40,20,80,60,100,120,140(单位：秒)．P(X＝0)＝＝；P(X＝40)＝××＝；P(X＝20)＝××＝；P(X＝80)＝××＝；P(X＝60)＝××＝；P(X＝100)＝××＝；P(X＝120)＝××＝；P(ξ＝140)＝××＝.所以X的概率分布为X040208060100120140P所以E(X)＝40×＋20×＋80×＋60×＋100×＋120×＋140×＝.4．解(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C＝35(种)取法，其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，因此P(X＝)＝＝.(2)由题意，X的可能取值为，2，，2，3，其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△SAD(3个)，△SAB(6个)，共有9个；其中X＝的三角形如△SBD，这类三角形共有6个；其中X＝2的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；其中X＝3的三角形如△BDF，这类三角形共有2个．因此P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，所以随机变量的概率分布为X223PE(X)＝×＋2×＋×＋2×＋3×＝.
