分层限时跟踪练(五十七)(限时40分钟)一、选择题1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．【答案】C2．[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.S1＝[]＋[]＋[]＝3，S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，…，依此规律，那么S10等于()A．210B．230C．220D．240【解析】 [x]表示不超过x的最大整数，∴S1＝[]＋[]＋[]＝1×3＝3，S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5＝10，S3＝[]＋[]…＋＋[]＝3×7＝21…，Sn＝[]＋[]＋[]…＋＋[]＝n(2n＋1)，∴S10＝10×21＝210.【答案】A3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝()A.B.C.D.【解析】正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.【答案】D4.(2015·上海模拟)如图1123所示，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3…个点，，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()图1123A．6B．7C．8D．9【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6…，，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2…＋＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．【答案】C5．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()A.aB.aC.aD.a【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，则有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝a.【答案】A二、填空题6．(2015·枣庄模拟)在△ABC≥中，不等式＋＋成立；在凸四边形ABCD中，不等式＋≥＋＋成立；在凸五边形ABCDE≥…中，不等式＋＋＋＋成立，，依此类推，在凸n边形A1A2…An…≥中，不等式＋＋＋____________成立．【解析】 ≥≥≥…＋＋＝，＋＋＋＝，＋＋＋＋＝，，∴…≥＋＋＋(n∈N*，n≥3)．【答案】(n∈N*，n≥3)7．在平面几何中：△ABC中∠C的平分线CE分AB所成的线段的比为＝(如图112-4(1))．把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图1124(2))，面DEC平分二面角A-CDB且与AB相交于E，则类比得到的结论是______________．图1124【解析】由平面中线段的类比空间中面积的比可得＝.【答案】＝8．(2015·陕西高考)观察下列等式1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…，据此规律，第n个等式可为______________．【解析】等式的左边的通项为－，前n项和为1…－＋－＋＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n…项，故为＋＋＋.【答案】1……－＋－＋＋－＝＋＋三、解答题9．观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2016是第几行的第几个数？【解】(1) 第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)…＋＋(2n－1)＝＝3·22n－3－2n－2.(3) 210＝1024,211＝2048,1024＜2016＜2048，∴2016在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2016－1024＋1＝993，知2016是第11行的第993个数．10．(2015·沈阳二模)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质．【解】类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kP...
