第8讲一元二次方程及应用考点知识精讲中考典型精析举一反三考点训练考点一一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．考点二一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，则x1＝a，x2＝－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.3．公式法：方程ax2＋bx＋c＝0且b2－4ac≥0，则x＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.考点三列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则x1,2＝－b±b2－4ac2a；2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根；考点五一元二次方程根与系数之间的关系1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.(1)(2010·桂林)一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－4B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝－1，x2＝－4D．x1＝1，x2＝4(2)(2010·眉山)已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为()A．－7B．－3C．7D．3(3)(2010·上海)已知一元二次方程x2＋x－1＝0，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定(4)(2009·深圳)用配方法将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是()A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．【解答】(1) x2＋3x－4＝0，∴(x＋4)(x－1)＝0.∴x＋4＝0或x－1＝0.∴x1＝－4，x2＝1，故选A.(2)根据根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1·x2＝2.∴x1＋x2－x1·x2＝5－2＝3，故选D.(3) b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝1＋4＝5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选B.(4)a2＋4a－5＝a2＋4a＋4－4－5＝(a＋2)2－9，故选D.解方程．(1)(2010·常州)x2－6x－6＝0；(2)(2009·新疆)解方程(x－3)2＋4x(x－3)＝0.【点拨】本组题考查一元二次方程的解法．【解答】(1)x2－6x－6＝0移项，得x2－6x＝6，配方，得(x－3)2＝15，∴x－3＝±15.∴x1＝3＋15，x2＝3－15.(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0换公因式，得(x－3)(x－3＋4x)＝0，(x－3)(5x－3)＝0.∴x－3＝0或5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝35.(2010·成都)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根．【解答】 方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0.即16－8k≥0，解得k≤2.∴k的非负整数值为k＝2,1,0.(2010·济南)如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．【点拨】列一元二次方程解决实际问题时，要善于读取题中信息，找出表示题目全部意义的等量关系．【解答】设该矩形草坪BC边的长为x米，根据题意，得x·32－x2＝120.解得x1＝12，x2＝20. 20>16，∴x＝20不合题意，舍去．答：该矩形草坪BC边的长为12米．1．方程(x－1)2＝4的解是x1＝3，x2＝－1.2．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值是k＝－1.3．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是x1＝5，x2＝－1.4．已知2＋3是方程x2－4x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根为x＝2－3，m的值为1.5．将一元二次方程x2－6x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形...
