能力升级练(六)解三角形一、选择题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,由A∈(0,π),得A=2π3,即∠BAC=23π.答案C2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=❑√5,c=2,cosA=23,则b=()A.❑√2B.❑√3C.2D.3解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13(舍去).答案D3.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=π3,b=2acosB,c=1,则△ABC的面积等于()A.❑√32B.❑√34C.❑√36D.❑√38解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinπ3=❑√3,又B∈(0,π),所以B=π3,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=12bcsinA=❑√34.答案B4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是()A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,则有A+B=π2,故三角形为直角三角形.答案D5.(2019广东深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为()A.4003mB.400❑√33mC.200❑√33mD.2003m解析如图所示.在Rt△ACD中可得CD=200❑√33=BE,在△ABE中,由正弦定理得ABsin30°=BEsin60°,则AB=2003,所以DE=BC=200-2003=4003(m).答案A6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=ac,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2.所以△ABC为直角三角形.答案B7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为()A.❑√33B.2❑√33C.❑√36D.4❑√33解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=12.又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2+c2-a22bc=4bc,则cosA>0.∴cosA=❑√32,即4bc=❑√32,则bc=8❑√33.∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×8❑√33×12=2❑√33.答案B8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.10❑√2海里B.10❑√3海里C.20❑√3海里D.20❑√2海里解析如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=10❑√2(海里).答案A9.(2019山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sinAsinB,且b=6,则c=()A.2B.3C.4D.6解析在△ABC中,A=π3,b=6,∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①又3sin2CcosC=2sinAsinB,∴3c2cosC=2ab,即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,∴a2+36=4c2,②由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.答案C二、填空题10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为米.解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=50❑√7.答案50❑√711.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90°,则cosB=.解析 a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2sinB=sinA+sinC. A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC,∴2sinB=cosC+sinC,∴2sinB=❑√2sin(C+45°).① A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-B2,代入①式中,2sinB=❑√2sin(90°-B2),∴2sinB=❑√2cosB2,∴4sinB2cosB2=❑√2cosB2,∴sinB2=❑√24,∴cosB=1-2sin2B2=1-14=34.答案3412.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=.解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=1114,则sinC=5❑√314.在△ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,则AB=ACsinCsinB=7×5❑√314❑√22=5❑√62.答案5❑√6213.在△ABC中,a,b,c...
