专题突破练18空间中的垂直与空间角1.(2019北京怀柔模拟,理16)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB=2,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(1)证明:CM⊥SN;(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小;(3)求二面角B-NC-M大小的余弦值.2.(2019河北唐山一模,理18)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC⊥平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,理19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点.(1)证明:AC⊥BE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实验等四校联考,理18)如图,在直角△ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将△AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF⊥面BCD;(2)若DE⊥BE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019福建漳州质检二,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=12AD,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E是PD的中点.(1)证明:PD⊥PB;(2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为❑√105,求二面角M-AB-P的余弦值.7.(2019山西晋城二模,理19)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.(1)证明:AC⊥B1D.(2)求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值.8.(2019山东青岛二模,理18)如图,在圆柱W中,点O1,O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME⏜的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2.(1)若平面FNH⊥平面NHG,证明:NG⊥FH;(2)若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于❑√155,证明:平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于π3.参考答案专题突破练18空间中的垂直与空间角1.(1)证明以A为原点,AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),C(0,2,0),B(4,0,0),M(2,0,1),N(1,0,0),S(2,1,0),∴⃗CM=(2,-2,1),⃗SN=(-1,-1,0), ⃗CM·⃗SN=2×(-1)+(-2)×(-1)+1×0=0,∴CM⊥SN.(2)解⃗CN=(1,-2,0),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则{x-2y=0,2x-2y+z=0.令y=1,则x=2,z=-2.∴a=(2,1,-2). |cos
|=|2×(-1)+1×(-1)+0❑√2×3|=❑√22,∴直线SN与平面CMN所成角为45°.(3)解由(2)知平面CMN的一个法向量a=(2,1,-2).又平面BNC的法向量b=(0,0,1),且二面角B-NC-M为锐角,∴|cos|=|2×0+1×9+(-2)×11×3|=23.∴二面角B-NC-M大小的余弦值为23.2.(1)证明因为E,F分别为AB,AC边的中点,所以EF∥BC.因为∠ABC=90°,所以EF⊥BE,EF⊥PE.又因为BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE,所以BC⊥平面PBE.(2)解取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC⊥平面PBE,BC⊂平面BCFE,所以平面PBE⊥平面BCFE.因为PB=BE=PE,所以PO⊥BE.又因为PO⊂平面PBE,平面PBE∩平面BCFE=BE,所以PO⊥平面BCFE.过O作OM∥BC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,❑√3),C(1,4,0),F(-1,2,0).⃗PC=(1,4,-❑√3),⃗PF=(-1,2,-❑√3),设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),则{⃗PC·m=0,⃗PF·m=0,即{x+4y-❑√3z=0,-x+2y-❑√3z=0,则m=(-1,1,❑√3).易知n=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量,cos=-1×0+1×1+❑√3×0❑√(-1)2+12+(❑√3)2=1❑√5=❑√55,所以平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值为❑√55.3.(1)证明 A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,∴AA1∥BB1. AA1=4,BB1=2,AB=2,∴A1B1=❑√AB2+(AA1-BB1)2=2❑√2.又AB1=❑√AB2+BB12=2❑√2,∴AA12=AB12+A1B12,∴AB1⊥A1B1.同理可得AB1⊥B1C1.又A1B1∩B1C1=B1,∴AB1⊥平面A1B1C1.(2)解取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于点D. AB=BC,∴OB⊥OC, AB=BC=2,∠BAC=120°,∴OB=1,OA=OC=❑√3.以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,-❑√3,0),...
