第3讲平面向量(建议用时：60分钟)一、选择题1．(·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()．A.B．C.D．解析AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝.答案A2．(·陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.答案C3．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于()．A．5B．4C．3D．1解析向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.答案B4．(·福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．A.B．2C．5D．10解析因为AC·BD＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝××2＝5.答案C5．(·大连一模)△ABC中D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则在下列向量中与AD同向的向量是()．A.＋B．－C.D．|b|a＋|a|b解析 AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，∴向量与向量AD是同向向量．答案C6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝.又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案D7．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()．A．2B．2C．4D．4解析由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由OP＝λOA＋μOB，可得⇒因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，当由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4，故选D.答案D二、填空题8．(·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析因为向量a，b为单位向量，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得∴b·c＝ta·b＋(1－t)·b2＝t＋(1－t)×12＝t＋1－t＝1－t＝0.∴t＝2.答案29．(·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析由题意知：AE·BD＝(AD＋DE)·(AD－AB)＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AB2＝4－0－2＝2.答案210．(·江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝. a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴＝.答案11．(·山东卷)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析已知A＝，由题意得|AB|·|AC|cos＝tan，|AB||AC|＝，所以△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sin＝××＝.答案12．(·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．解析设出点D的坐标，求出点D的轨迹后求解．设D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又OA＋OB＋OD＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|OA＋OB＋OC|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值． 圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.答案＋1三、解答题13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈.(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；(2)若tanθ＝－，求OA·OB的值．解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ)．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝，∠B＝π－－θ...
