第1讲平面向量的概念及其线性运算分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()．A.AO＝ODB.AO＝2ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD解析由2OA＋OB＋OC＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO＝OD.答案A2．(·北京海淀一模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF＝()．A.AB＋ADB．－AB－ADC．－AB＋ADD.AB－AD解析在△CEF中，有EF＝EC＋CF，因为E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为BC的中点，所以CF＝CB.所以EF＝EC＋CF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD.答案D3．(·宁波四所重点中学联考)已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝0解析依题意，得AB＝DC，故AB＋CD＝0，即OB－OA＋OD－OC＝0，即有OA－OB＋OC－OD＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.答案A4．(·杭州高三质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA＋2OC＝3OB，则的值为()．A.B.C.D.解析由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC，即BA＝2CB，所以＝.故选A.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·温州模拟)设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析 BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.答案－16.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝1，|AD|＝2，设AB＝a，BC＝b，BD＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋BD|＝|AB＋BD＋AD|＝|AD＋AD|＝2|AD|＝4.答案4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设OA＝a，OB＝b，BM＝BC，CN＝CD.试用a，b表示OM，ON及MN.解由题意知，在平行四边形OADB中，BM＝BC＝BA＝(OA－OB)＝(a－b)＝a－b，则OM＝OB＋BM＝b＋a－b＝a＋b.ON＝OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)＝a＋b，MN＝ON－OM＝(a＋b)－a－b＝a－b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明因为BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，所以BD＝BC＋CD＝10e1＋15e2.又因为AB＝2e1＋3e2，得BD＝5AB，即BD∥AB，又因为AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解DB＝CB－CD＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，AB＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则AB∥DB，设DB＝λAB，所以⇒k＝－8.分层B级创新能力提升1．在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0.AP＝λPD，则实数λ的值为()．A．－1B．－2C．－3D．－解析如图所示，由AP＝λPD，且PA＋BP＋CP＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP＝－2PD，则λ＝－2.答案B2．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝()．A．3B.C.D.解析如图，设AB＝a，AD＝b，则AC＝AB＋AD＝a＋b，AF＝AB＋BF＝a＋b，AE＝AD＋DE＝a＋b，所以AE＋AF＝(a＋b)＝AC，即AC＝AE＋AF.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案C3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．解析 O是BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)．又 AB＝mAM，AC＝nAN，∴AO＝AM＋AN. M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.答案25.如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值．解 AP＝NP－NA＝(BN－CN)＝(BN＋NC)＝BC，QA＝MA－MQ＝BM＋λMC，又 AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，即λMC＝MC，∴λ＝.6．...
