【整合教案】7.3.1 正弦函数的性质与图像 VIP专享VIP免费

17.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像学习目标核心素养1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像．(难点)1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.1.正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数y＝sinx定义域R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增；在2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上递减2最值x＝2kπ＋π2，(k∈Z)时，y最大值＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y最小值＝－12.正弦函数的图像(1)利用正弦线可以作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，要想得到y＝sinx(x∈R)的图像，只需将y＝sinx，x∈[0,2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sinx，x∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，π2，1，(π，0)，和32π，－1和(2π，0)．思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示]由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)…，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋π2，(k∈Z)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．1.函数y＝xsinx是()A．奇函数，不是偶函数B．偶函数，不是奇函数C．奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数B[f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，∴y＝xsinx为偶函数，不是奇函数．]2.下列图像中，符合y＝－sinx在[0,2π]上的图像的是()3D[把y＝sinx，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sinx，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]3.点Mπ2，－m在函数y＝sinx的图像上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2C[由题意－m＝sinπ2，∴－m＝1，∴m＝－1.]三角函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin－12x＋π2；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)．[解](1)显然x∈R，f(x)＝cos12x， f(－x)＝cos－12x＝cos12x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)由1－sinx>0，1＋sinx>0，得－1－sin70°，即sin194°>cos160°.(2) cos53＝sinπ2＋53，又π2<74<π<π2＋53<32π，y＝sinx在π2，32π上是减函数，∴sin74>sin...