第3讲分类讨论、转化与化归思想一、分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2.标准要统一，层次要分明3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2.由数学运算要求而引起的分类讨论3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4.由图形的不确定性而引起的分类讨论5.由参数的变化而引起的分类讨论分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论[典型例题]设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3…，)，则q的取值范围是________．【解析】由{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0.当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1，2，3，…)，则有①或②由①得－1
1.故q的取值范围是(－1，0)∪(0，∞＋)．【答案】(－1，0)∪(0，∞＋)本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由>0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．[对点训练]1．一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为()A．x＋y－7＝0B．2x－5y＝0C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0解析：选C.设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.2．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，∞＋)上是增函数，则a＝________．解析：若a>1，则a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝，此时g(x)＝－，为减函数，不合题意；若00，函数f(x)是(∞－，∞＋)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－lna，若x∈(∞－，－lna)，则f′(x)>0；若x∈(－lna，∞＋)，则f′(x)<0，所以函数f(x)在(∞－，－lna)上单调递增，在(－lna，∞＋)上单调递减．(2)f(x)≤e2x⇔a≥－ex，设g(x)＝－ex，则g′(x)＝.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，所以g(x)在(∞－，0)上单调递增．当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，所以g(x)在(0，∞＋)上单调递减．所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，∞＋)．(1)①参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．②解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论．(2)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，“”分类要做到不重不漏．[对点训练]1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝()A．2B．4C．6D．8解析：选C.当01，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)，所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)．所以f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解．综上，f()＝6.2．设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，∞＋)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，∞＋)．应用三由图形位置或形状引起的分类讨论[典型例题]设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线...
