等比数列典例剖析［例1］已知｛an｝是等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20.求a11.【解法一】由a1a9=64,a3+a7=20得由①a1q4=8③,或a1q4=－8④②÷③得,整理得2q4－5q2+2=0解得q2=或q2=2.当q2=时，a1=32,a11=a1q10=1当q2=2时,a1=,a11=a1q10=64.②÷④得整理得2q4+5q2+2=0∴q2=－(舍去)或者q2=－2(舍去)【解法二】由已知由x2－20x+64=0得x=4或x=16∴或a11==64或a11==1.【点评】充分地利用等比数列的性质进行计算和证明，往往可起到事半功倍的作用.［例2］有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.【解】设四个数依次为a－d,a,a+d,由题意得由②得d=12－2a,代入①得［a－(12－2a)］+=16,整理得a2－13a+36=0解得a1=4,a2=9,得d1=4,d2=－6.从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.【点评】这种类型的题要注意"设"的技巧，这里只设了两个字母，给下面的运算带来很大方便，设的过程中已经把条件"等差、等比"用上了.［例3］已知三个正数a、b、c成等比数列，但不成等差数列，求证：,,不成等差数列.用心爱心专心115号编辑①②①②【证明】假设,,成等差数列，则2=+∴4b=a+c+2①根据已知条件：a、b、c成等比数列，∴b2=ac②由①②知2b=a+c此与a，b，c不成等差数列相矛盾，因此,,不成等差数列.【点评】证明数列成等比(或等差)数列可利用等比(或等差)数列的定义，或用等比(或等差)中项的概念；而证明数列不成等比(或等差)数列可考虑反证法等.［例4］Sn是等比数列｛an｝的前n项和，公比q≠1,已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2与3S3的等比中项.(1)求S2和S3；(2)求此数列的通项公式;(3)求数列｛Sn｝的前n项和.【解】(1)由已知条件得：,即可解得S2=2,S3=3(2)又q≠1,∴①÷②整理得2q2－q－1=0，即(2q+1)(q－1)=0∵q≠1,∴q=－代入①可得a1=4∴an=4(－)n－1(3)Sn=∴｛Sn｝的前n项和Tn为Tn==【点评】本题给出了确定等比数列通项公式的基本解法，在利用等比数列前n项和公式中应注意对公比的判断和讨论，同时对于数列的求和问题，要注意通过对数列通项公式的观察，进行求和类型的判断.用心爱心专心115号编辑①②［例5］已知数列｛an｝的通项公式an与前n项和公式Sn之间满足关系Sn=2－3an.(1)求a1;(2)求an与an－1(n≥2,n∈N*)的递推关系；(3)求Sn与Sn－1(n≥2,n∈N*)的递推关系.【解】(1)当n=1时，S1=2－3a1,即a1=2－3a1∴a1=(2)Sn=2－3an①当n≥2时，Sn－1=2－3an－1②①－②得an=3an－1－3an,即an=an－1(3)Sn=2－3(Sn－Sn－1)∴Sn=【点评】通过已知条件得到an与an－1(n≥2,n∈N*)的递推关系或者Sn与Sn－1(n≥2,n∈N*)的递推关系，都可以转化为等比数列，进而求出｛an｝的通项公式.［例6］已知数列｛an｝的递推关系，求满足下列条件数列的通项.(1)a1=1,an=3an－1+2(n≥2,n∈N*)(2)a1=1,an=2an－1+2n(n≥2,n∈N*)【解】(1)由an=3an－1+2得an+1=3(an－1+1)=3，即｛an+1｝为等比数列.an+1=(a1+1)3n－1,∴an=(an+1)3n－1－1=2·3n－1(2)由an=2an－1+2n得=1∴｛｝成等差数列，=+(n－1),∴an=n·2n－2n－1【点评】上述两个数列的通项公式，也可由累加法通过求和而得出.用心爱心专心115号编辑
