等比数列典例剖析[例1]已知{an}是等比数列,且a1a9=64,a3+a7=20.求a11.【解法一】由a1a9=64,a3+a7=20得由①a1q4=8③,或a1q4=-8④②÷③得,整理得2q4-5q2+2=0解得q2=或q2=2.当q2=时,a1=32,a11=a1q10=1当q2=2时,a1=,a11=a1q10=64.②÷④得整理得2q4+5q2+2=0∴q2=-(舍去)或者q2=-2(舍去)【解法二】由已知由x2-20x+64=0得x=4或x=16∴或a11==64或a11==1.【点评】充分地利用等比数列的性质进行计算和证明,往往可起到事半功倍的作用.[例2]有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.【解】设四个数依次为a-d,a,a+d,由题意得由②得d=12-2a,代入①得[a-(12-2a)]+=16,整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9,得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.【点评】这种类型的题要注意"设"的技巧,这里只设了两个字母,给下面的运算带来很大方便,设的过程中已经把条件"等差、等比"用上了.[例3]已知三个正数a、b、c成等比数列,但不成等差数列,求证:,,不成等差数列.用心爱心专心115号编辑①②①②【证明】假设,,成等差数列,则2=+∴4b=a+c+2①根据已知条件:a、b、c成等比数列,∴b2=ac②由①②知2b=a+c此与a,b,c不成等差数列相矛盾,因此,,不成等差数列.【点评】证明数列成等比(或等差)数列可利用等比(或等差)数列的定义,或用等比(或等差)中项的概念;而证明数列不成等比(或等差)数列可考虑反证法等.[例4]Sn是等比数列{an}的前n项和,公比q≠1,已知1是S2和S3的等差中项,6是2S2与3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求此数列的通项公式;(3)求数列{Sn}的前n项和.【解】(1)由已知条件得:,即可解得S2=2,S3=3(2)又q≠1,∴①÷②整理得2q2-q-1=0,即(2q+1)(q-1)=0∵q≠1,∴q=-代入①可得a1=4∴an=4(-)n-1(3)Sn=∴{Sn}的前n项和Tn为Tn==【点评】本题给出了确定等比数列通项公式的基本解法,在利用等比数列前n项和公式中应注意对公比的判断和讨论,同时对于数列的求和问题,要注意通过对数列通项公式的观察,进行求和类型的判断.用心爱心专心115号编辑①②[例5]已知数列{an}的通项公式an与前n项和公式Sn之间满足关系Sn=2-3an.(1)求a1;(2)求an与an-1(n≥2,n∈N*)的递推关系;(3)求Sn与Sn-1(n≥2,n∈N*)的递推关系.【解】(1)当n=1时,S1=2-3a1,即a1=2-3a1∴a1=(2)Sn=2-3an①当n≥2时,Sn-1=2-3an-1②①-②得an=3an-1-3an,即an=an-1(3)Sn=2-3(Sn-Sn-1)∴Sn=【点评】通过已知条件得到an与an-1(n≥2,n∈N*)的递推关系或者Sn与Sn-1(n≥2,n∈N*)的递推关系,都可以转化为等比数列,进而求出{an}的通项公式.[例6]已知数列{an}的递推关系,求满足下列条件数列的通项.(1)a1=1,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*)(2)a1=1,an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*)【解】(1)由an=3an-1+2得an+1=3(an-1+1)=3,即{an+1}为等比数列.an+1=(a1+1)3n-1,∴an=(an+1)3n-1-1=2·3n-1(2)由an=2an-1+2n得=1∴{}成等差数列,=+(n-1),∴an=n·2n-2n-1【点评】上述两个数列的通项公式,也可由累加法通过求和而得出.用心爱心专心115号编辑