高三数学第一轮复习：轨迹方程【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】【知识点精析】1.求曲线轨迹方程的基本步骤：⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为；⑵寻找动点与已知点满足的关系式；⑶将动点与已知点坐标代入；⑷化简整理方程；⑸证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。通常求轨迹方程时，可以将步骤⑵和⑸省略。2.几种常用的求轨迹的方法：⑴直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。⑵定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。⑶代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然后整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法。⑷参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：①参数的选择要合理，应与动点坐标有直接关系，且易以参数表达。可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。②消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。③对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约。⑸几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。⑹交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。说明：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用，只要动点满足已知曲线定义时，就可直接得出方程。另外，要注意一些轨迹问题，都包含一定的隐含用心爱心专心条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围。由曲线和方程概念可知，在求曲线方程时一定要注意，它的完备性和纯粹性，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”。一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型。【解题方法指导】例1.设直线与双曲线交于，以为直径的圆过原点，求点的轨迹方程。解析：。设，则有，依题有，即又 ，∴有，化简得，故点的轨迹方程为评述：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可利用平面几何知识推出等量关系，求方程可以用直接法，如本题中，推出，从而利用根与系数的关系建立方程。例2.如图所示，平面的两个顶点分别为椭圆的焦点，且三内角满足，试求顶点的轨迹方程。用心爱心专心解析：在中，，∴，∴，∴又由正弦定理，得，故点的轨迹是以为焦点。长轴长为２的双曲线的右支，其方程为。评述：当题设条件符合椭圆、双曲线、抛物线的定义时，可直接写出方程。例3.如图，已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程。解析：设的中点为，则中，，又，有，即。因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动。设，由为中点，所以有，代入方程，得，用心爱心专心整理，得，即点的轨迹方程为评述：在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。【考点...
