高三数学数学归纳法与贝努利不等式知识点分析人教新课标A版VIP免费

数学归纳法与贝努利不等式目标认知学习目标：1、借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题.2、理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式。3、了解贝努利不等式，会利用数学归纳法明贝努利不等式．重点难点：1、学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.知识要点梳理知识点一：归纳法由一系列事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得到一般结论的推理方法，不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的.但它是一种重要的思考问题的方法，是打开数学之门的钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了事物的所有情况后得出的一般结论的推理方法，又叫枚举法.这时得到的结论是可靠的.知识点二：数学归纳法由归纳法得到的某些与自然数有关的命题，常常用数学归纳法来证明它的正确性。1、用数学归纳法进行证明的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立；（3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立。注意：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；（2）在第二步中，在递推之前，时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对的正确性可以传递到时的情况.有了这一步，联系第用心爱心专心一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立.在这一步中，时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将代入命题.2、数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般适用于证明某些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题.但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明.3、用数学归纳法证题的类型：①用数学归纳法证明恒等式；②用数学归纳法证明整除性问题；③用数学归纳法证明几何问题；④用数学归纳法证明不等式.4、利用数学归纳法证明问题时，要注意：（1）初始值的选取；根据题目不同，初始值不一定从开始.如，证明不等式，初始值应从开始.（2）在由假设时成立，证明时，要灵活应用归纳假设.此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等.知识点三：贝努利不等式定理（贝努利（Bernoulli）不等式）：设实数为大于1的自然数，则证明：用数学归纳法（1）当n＝2时，∵，∴左边＝＝右边，∴命题成立。（2）假设n＝k（k为大于等于2的正整数）时命题成立，即则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，命题也成立。用心爱心专心由（1）、（2）得对一切大于1的自然数n，不等式成立。规律方法指导数学归纳法是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。证明格式：(1)当n=n0时，命题成立；(2)假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，证明出命题也成立。由(1)(2)知：原命题都成立。用心爱心专心