高三数学平面向量（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：平面向量二.重点、难点：1.，2.（1）（2）（3）（4）//（5）（6）【典型例题】[例1]，，，，若A、B、D三点共线，求k。解：A、B、D三点共线存在，使∴∴[例2]四边形ABCD中，，判断四边形ABCD的形状。解：∴若则与四边形ABCD不符∴同理∴用心爱心专心∴∴∴∴同理、、∴四边形ABCD为矩形[例3]为单位向量，夹角为60°（1）求与的夹角；（2）若与夹角为120°，求k。解：，（1）∴（2），∴（舍）[例4]为非且，，求夹角。解：∴用心爱心专心∴[例5]，（1）若，求；（2）若，求。解：设（1）或（2）或[例6]，且，求k。解：[例7]判断下列各命题是否正确。（1）若，则；（2）若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；（3）若，则；（4）两向量相等的充要条件是：且；（5）是向量的必要不充分条件；（6）的充要条件是A与C重合，B与D重合。分析：从向量的模、相等向量的概念入手，逐个判断其真假。解析：（1）不正确。两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。（2）正确。 ，∴且。又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形，则，且与方向相同，因此，。（3）正确。 ，∴的长度相等且方向相同又 ，∴的长度相等且方向相同。∴的长度相等且方向相同，故（4）不正确。当，但方向相反，即使=，也不能得到。（5）正确。这是因为，但，所以是的必要不充分条件。（6）不正确。这是因为时，应有：及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合，B与D重合。用心爱心专心[例8]如图，以向量为边作OADB，，用表示。解析： ，∴又∴即有，，[例9]如图，在△AOB中，与BC交于M点，设，，（1）试用表示向量；（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，求证：。解析：（1）设，则 A、M、D三点共线∴与共线∴∴①而用心爱心专心∴C、M、B三点共线∴与共线∴∴②联立①②解得，故（2）证明： ∴与共线，∴∴∴[例10]设两个非零向量不是平行向量。（1）如果，，，求证：A，B，D三点共线。（2）试确定实数的值，使和是两个平行向量。解析：由平面向量基本定理得：两个非零向量的充要条件是存在唯一实数，使成立，当有公共点时，向量共线。（1）证明： ∴∴A、B、D三点共线（2） ∴存在唯一实数使成立∴ 与不是平行向量，且为非零向量∴且，∴[例11]已知，B点坐标为（1，0），，，且，求点A的坐标。解析： ∴即用心爱心专心又B（1，0），设A点坐标为（x，y），则∴即A点坐标为（8，－10）[例12]设向量，向量，，又=，求。解析：如图所示，因为，所以=（）（且），设，则由，得，即，因为，从而有将（1）（2）代入（3），得再代入（1）（2）得，，即（14，7），所以[例13]平面内给定三个向量（3，2），，回答下列问题：（1）求；（2）求满足的实数；（3）若，求实数；（4）设，满足且，求。解析：（1）（2） ∴∴解之得（3） 又∴∴（4） 又且∴用心爱心专心解之得或[例14]设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长为，已知向量，。（1）如果，指出△ABC的形状，并说明理由；（2）求解析：（1）由知即∴，又 ，则，因此△ABC为直角三角形。（2）由知，，=，∴[例15]设平面内两个向量，且。（1）证明：（2）若两个向量与的模相等，求的值（）解析：（1）证明：证法一： ∴∴=1－1=0∴证法二：=1－1=0∴（2） 而，又∴即又∴∴又∴ 用心爱心专心∴∴[例16]设平面向量，若存在实数和角，使向量，且。（1）试求函数的关系式；（2）令，求出函数的极值。解析：（1） ，∴即 ∴（2）由，得求导得，令，得当时，；当时，；当时，∴当，即时，有极大值；当，即时，有极小值。[例17]向量（2，2），向量与向量的夹角为，且。（1）求向量；（2）若，且，其中A，C是△ABC的内角，若三角形的三内角A，B，C依次成等差数列，试求的取值范围。解析：（1）设，则，且解得或，或（2） ，且∴用心爱心专心∴∴ ∴∴【模拟试题】1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则（）A.B.C.D.2.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）...
