高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第四讲简单的线性规划》主编：王子峰36第四讲简单的线性规划线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素线性规划问题的三个要素•决策变量决策问题待定的量值称为决策变量。决策变量的取值要求非负。•约束条件任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。约束条件是决策方案可行的保障。LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。•目标函数衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。目标函数是决策变量的线性函数。有的目标要实现极大，有的则要求极小。从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。所建立的数学模型具有以下特点：高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第四讲简单的线性规划》主编：王子峰371、每个模型都有若干个决策变量（12,,,nxxx），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般式非负的。2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。3、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。一．二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式0AxByC在平面直角坐标系中表示直线0AxByC某一侧所有点组成的平面区域.对于直线0AxByC的同一侧的所有点(,)xy,实数AxByC的符号都相同,所以只需在某一侧任取一点00(,)xy,把它的坐标代入AxByC中,由其值的符号可以判定0AxByC表示直线的哪一侧,当0C时,常取(0,0)作为特殊点.当0B时,是直线0AxByC上方的半平面;当0B时,是直线0AxByC下方的半平面;当0,0BA时,是直线CxA右侧的半平面;当0,0BA时,是直线CxA左侧的半平面.例1.求不等式|2||2|2xy表示的平面区域面积.分析:关键在于去绝对值,要正确分类.解法一:|2||2|2xy等价于6,(2,2)2,(2,2)2,(2,2)2,(2,2)xyxyxyxyxyxyxyxyOyx高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第四讲简单的线性规划》主编：王子峰38作出以上不等式组所表示的平面区域,如图,它是边长为22的正方形,其面积等于8.解法二:|2||2|2xy是由||||2xy经过向右、向上各平移2个单位得到的.|2||2|2xy表示的平面区域的面积等于||||2xy表示的平面区域的面积，作200xyxy表示的平面区域，由对称性可知，所求平面区域面积为8.探究1：表示(1)(1)0xyxy表示的平面区域是()OxyyxOA.B.OxyyxOC.D.二．线性规划基本概念线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数max(或min)=clx1+c2x2+…+cnxn。约束条件：...
