高三数学备考练习：第十讲几何不等式 旧人教版VIP专享VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十讲几何不等式》主编：贾广素101第十讲几何不等式几何问题中出现的不等式称为几何不等式.常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等.在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。证明几何不等式常用方法一.代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：（1）适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；（2）利用重要的几何不等式及代数不等式；（3）当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.二．三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：（1）三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；（2）边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.三．几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；（2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识.2．几个著名代数不等式在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式——柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等.3.几个著名的几何不等式高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十讲几何不等式》主编：贾广素102（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD中，一定有：BDACBCADCDAB，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.证明1：取点E，使ACDABECADBAE，则ABE∽ACD∴CDBEACAB，ADAEACAB∴BEACCDAB（1）又DAEBAC∴ABC∽AED，∴ADACDEBC，∴DEACADBC∴BDACDEBEACDEACBEACADBCCDAB)(上式等号成立当且仅当E在对角线BD上.此时ACDABD，从而四边形内接于圆.证明2：复数法设A、B、C、D对应的复数分别是1z、2z、3z、4z用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0zzzzzzzzzzzz则12341423|()()||()()|ABCDADBCzzzzzzzz12341423|()()()()|zzzzzzzz2431|()()|zzzzACBD（2）（嵌入不等式）设,,,(21),xyzRABCkkZ，求证：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222等号成立的充要条件是：BzCyxcoscos及BzCysinsin.证明：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222)cos(2)coscos(2222CByzzyxCyBzx222)sinsin()coscos()coscos(2CyBzCyBzxCyBzx0)sinsin()coscos(22CyBzCyBzx高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十讲几何不等式》主编：贾广素103YXPCBAPFEDCBA当且仅当BzCyxcoscos且BzCysinsin时取等号（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos—Mordell）不等式：在ABC内部任取点P，,AdBd,Cd分别表示由点P到顶点CBA,,之间的距离，cbaddd,,分别表示由点P到边ABCABC,,的距离，则)(2cbaCBAdddddd证明一：过P作直线XY分别交ACAB,于YX,，使ABCAYX则AYX∽ABC，∴BCABXYAYBCACXYAX,又 AbcAXYdXYdAYdAXS212121∴bcAdXYAYdXYAXd，即bcAdBCABdBCACd同理：acBdACABdACBCdabCdABACdABBCd∴)(2cbaCBAdddddd证明二：FAEP,,,四点共圆，则AdAEFsin在EFP中，由余弦定理得)cos(2222CBddd...