高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第一讲不等式的证明》主编：贾广素1第一讲不等式的证明证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多样，技巧性较强.有时，一个不等式的证法不止一种，而一种证法又可能用到几个技巧。但基本思想是一样的，即把原来的不等式转化为明显成立的不等式。本讲中，我们主要介绍不等式证明的基本方法。一．证明不等式的基本出发点证明不等式的基本出发点是实数的符号性质，主要有：（１）实数的三歧性：两个实数有且只有三种关系之一，即,,ababab三种关系中必有其一成立。（２）正数大于０,也大于负数；负数小于０,也小于正数。（３）正数的绝对值大的较大，负数中绝对值小的较大。（４）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（５）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数。（６）两个实数的积是正数，当且仅当两个数同号；两个实数的积是负数，当且仅当两个数是异号的。（７）除了零以外，任何数与它的倒数同号；两个正数，较大的倒数较小。（８）任何一个实数的平方都不小于０.（９）正数的全量大于它的任一部分。由这些，可以顺利地推出不等式的基本性质和重要不等式。二．不等式证明的基本方法１.比较法比较法证明不等式主要有两种形式，一种是差值比较法，另一种是商值比较法：【例1】对于11ab，求证22.11abab.【证明】由11ab知0,10abab，且22222222(1)(1)()(1)0.11(1)(1)(1)(1)ababbaababababab从而22.11abab差值比较法通常分成三步：作差、变形、判号.其中最重要的步骤是变形，变形中一定要设法出现已知条件，并且常作分解因式或配方等以便于判别符号的恒等变形。比较法的好处在于能变定性推理为定量计算，能变放缩技巧为恒等变形。高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第一讲不等式的证明》主编：贾广素2探究1设,,abcR，求证3().abcabcabcabc２.综合法所谓的综合法就是由已知条件出发推导结论的一种证明方法。【例2】设12,,,,nxxxR求证：222211212231.nnnnxxxxxxxxxxx〖分析〗本题是1984年全国联赛的一道试题，题目本身的难度并不大，证法也比较多，这里我们只是采用综合法对本题加以证明。【证明】由2110iiixxx，有2112.iiiixxxx从而得211222;xxxx222332;xxxx……2112.nnxxxx左边和右边分别相加，得左边右边.这里运用了n个不等式同向相加的技号，俗称为叠加法。探究2设,abc且2221,1,abcabc求证：41.3ab３.分析法假定给定的不等式成立，然后找充分条件，一直找到已知条件或明显成立的不等式。在具体进行时，也可以找充要条件，或先找必要条件再验证步步可逆就可以了。【例3】若0,m求证：243.mm〖分析〗如果具有较强的不等式论证能力，就可以一眼看出，这是一个三维平均值不等式的应用问题：322244433.2222mmmmmmmm但是，如果没有拆项证题的经验，依然可高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第一讲不等式的证明》主编：贾广素3以借助于分析法来获得证明的成功。【证明】欲证243,mm只需证32340mm，即证2(1)(2)0mm，由0m得10m；而2(2)0m，所以两个非负数的积为非负数，知最后一式成立，从而求证式成立.探究3设,,abc是三角形的三边，0m，求证：.abcambmcm４.反证法反证法证明不等式的一个明显的好处在于：当否定AB时，就得到了AB，可以作为已知条件而参加推理。【例4】设(),()fxgx是定义在[0,1]上的函数，证明：存在00,[0,1]xy，使得00001|()()|.4xyfxgy【证明】假设这样的00,xy不存在，则对于一切,[0,1]xy均有1|()()|.4xyfxgy特别地，取数对(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)代入上式，得1|(0)(0)|;41|(0)(1)|;41|(1)(0)|;41|1(1)(1)|.4fgfgfgfg从而，1|[1(1)(1)][(1)(0)][(0)(1)][(0)(0)]|fgfgfgfg|1(1)(1)||(1)(0)||(0)(1)||(0)(0)|fgfgfgfg111114444.这一矛盾是显然的...
