高三数学备考练习：第七讲三角形问题 旧人教版VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第七讲三角形问题》主编：贾广素68第七讲三角形问题三角形中的心是指重心、外心、内心、垂心、旁心和界心.三角形的心是三角形的重要的几何点，在奥林匹克数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此我们有必要对三角形心的几何性质作归纳总结，对有关的证明方法和解题技巧作深入的探究.一．三角形的重心的性质三角形的三条中线交于一点，这个交点即为三角形的重心，重心把中线分成了2：1的两部分，在ABC中，重心通常用字母G来表示，重心的位置总是在三角形的内部.下面，我们将三角形的重心所具备的性质来加以总结与探究：性质1：设G为ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，222211()24ADABACBC且:2:1.AGGD性质2：设G为ABC的重心，过G作//DEBC交AB于D，交AC于,E过点G作//PFAC交AB于P，交BC于F，过G作//KHAB交AC于K，交BC于,H则（1）2;3DEFPKHBCCAAB（2）2.DEFDKHBCCAAB性质3：设G为ABC的重心，P为ABC内任意一点，则（1）22222223;APBPCPAGBGCGPG（2）2222221().3GAGBGCABBCCA证明（1）设D为BC边上的点，则对APG和DPG分另应用余弦定理，有2222cosAPAGPGAGPGAGP，2222cosPDDGPGDGPGDGP，而2,coscosAGDGAGPAGP,于是有22222223.APPDAGDGPG又,PDDG分别为BPC的BC边，BGC的边BC边上的中线，有22222222112;2,22PDPBPCBCDGBGCGBC从而22222223.APBPCPAGBGCGPG（2）由性质（1）,有2222911(),424AGABACBC2222911(),424BGABBCAC2222911().424CGBCACAB高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第七讲三角形问题》主编：贾广素69此三式相加，整理即得2222221().3GAGBGCABBCCA此性质即得三角形中的莱布尼兹公式：2222221().3APBPCPABBCCA性质4：设G为ABC内一点，G为ABC的重心的充要条件是下列条件之一：（1）1;3GBCGCAGABABCSSSS（2）当点G在三边,,BCCAAB上射影分别为,,DEF时，GDGEGF的值最大；（3）当,,AGBGCG的延长线交三边于,,DEF时，AFGBDGCEGSSS;（4）过G的直线交AB于P，交AC于Q时，3;ABACAPAQ（5）222222333.BCGACAGBABGC这个性质，我在这儿就不再加以证明了，请同学们自己完成对这条性质的证明.性质5：三角形重心G到任一直线l的距离等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一.事实上，若设三顶点,,ABC，重心,GBC边的中点M到直线l的距离分别为,,,,ABCGMddddd，21(),().32GAMGMBCddddddd两式相加，即有1().3GABCdddd由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心，所以这种和为定值的直线与一个以G为圆心的圆相切.性质6：设G为ABC的重心，若222AGBGCG，则两中线AD与BE垂直；反之，若两中线,ADBE垂直，则222.AGBGCG例1.已知ABC的重心为G，（1）证明,,AGBGCG分别关于,,ABC的角平分线对称的三条直线交于一点P；（2）若P在三条边,,BCCAAB上的投影分别为,,DEF，证明P为DEF的重心.证明:(1)设ABC的三条中线分别为,,ALBMCN，,,AGBGCG关于,,ABC的角平分线对称的三条直线分别与,,BCCAAB交于点111,,LMN，设,,BCaCAbABc，则1121112111ABLABLACLACLSBLBLSABALBLBLABALcLCLCLCLCSSACALACALb.同理可得22112211;CMANCMaANbMAMAcNBNBa.由塞瓦定理，可得1BLCMANLCMANB，高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第七讲三角形问题》主编：贾广素70于是有1111111BLCMANLCMANB，由塞瓦定理的逆定理可得111,,ALBMCN交于一点.注用塞瓦定理的三角表示（角元塞瓦定理）更容易得到.2设DP与EF交于点K，CAL，由正弦定理可得sinsinsinsinALCBLCALALB，由于,,,;,,,;,,,AEPFBDPFCDPE均四点共圆，所以,,,FEPPAFEFPPAEAFPKBEPKC，由正弦定理得sinsinsinsinsinsinsinsinFPKBBFKPKPKKEKEEFPAA...