高三数学反函数知识精讲VIP专享VIP免费

年级学科版本通用版内容标题高三数学反函数编稿老师潘春芬【本讲主要内容】反函数的概念，互反函数的关系，反函数的简单应用。【知识掌握】【知识点精析】1.反函数的概念定义方法1：设确定函数，，的映射是从A到C的一一映射，则其逆映射：确定的函数记作为的反函数。定义方法2：若对于函数，，从中解出，且是的函数，则记（）是的反函数。注：反函数首先是函数，其具有作为函数的独立性，一律是函数集合中的元素，但寻找它们之间的联系，便是与称作互反函数的。2.互反函数的关系设的反函数是（1）的定义域和值域分别是函数的值域和定义域。有些时候，通过求的定义域寻找的值域。（2）单调函数必有反函数，但有反函数的函数不一定单调。（是否有反函数，还应从定义分析）（3）互反函数的图象间关于直线对称；若两个函数图象关于对称，可认为它们是互为反函数的，特别的，一个函数图象本身关于直线对称，可称它为自反函数，即它的反函数即自身。（4）由于在一个区间内自变量值的顺序与其对应函数值的顺序始终一致，称此函数为增函数，相反称为减函数，故互反函数单调性一致（如果是单调函数，单调性一致）（5）偶函数不可能有反函数，如果一个函数是奇函数，其有反函数则其反函数也必然是奇函数。（如的反函数）【解题方法指导】[例1]判断下列函数在各自给的区间内是否有反函数。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）由，是关于的函数∴有反函数且为其自身（2）此式对于在上任意取值，都有两个值与之对应，即非的函数，故没有反函数。（3）在上是单调减函数，故必有反函数（4）在（0，）上是单调增函数，故必有反函数（5）关于是减函数，故必有反函数[例2]求函数的反函数。解：当时是关于的一个函数，其有反函数由∴当上的反函数为∴当时，是关于的一个函数又∴当时，的反函数为∴注：求反函数，若可以反解，即用表示且是的函数，即可确定，但要注意写出反函数的定义域，因为这里更强调的是这个函数的属性是反函数。另外，对于分段函数，求反函数要分段来求。[例3]已知函数（其中）（1）求函数的反函数（2）设，求函数的最小值以及相应的值。（3）若不等式对于区间上的每一个值都成立，求实数的取值范围。解：（1）（且）令即且∴反函数为（2）当且仅当即时，取得最小值（3）（*）（*）关于是一次函数式（因，否则（*）不成立）欲使（*）对于均成立，则必须且仅需【考点突破】【考点指要】反函数作为一种特殊函数（与另一函数共存），概念性较强，涉及的知识点相对多一些，故具有综合性，因此历来是高考的必考内容，但比重不大，它可易，可难，其解决问题的思想与方法都渗透对能力的考查。一般考查三个方面：（1）求反函数，连带求函数值域，求函数解析式；（2）利用互反函数之间的关系，通过反函数来研究函数性质；（3）充分运用互反函数图象关于直线对称的性质，解决与之相关联的其它综合问题。【典型例题分析】[例1]（05，山东）函数的反函数图象大致是（）答案：B解：选择题，可利用必要条件进行筛选。过（1，0）其反函数必过（0，1），排除A、D又关于是减函数，故排除C，留B。[例2]（05，辽宁）函数的反函数是（）解：∴ 的值域为（）∴∴反函数为注：反函数在高考中一般以选择、填空题的形式居多，特别是选择题结合图象（函数或是其反函数），依据概念，运用必要条件解题的方法，解之，不属难题。[例3]（06，陕西）设函数（且）的图象过点（2，1），其反函数图象过点（2，8），则等于（）A.6B.5C.4D.3答案：C解：的图象过（2，1）和（8，2）∴∴注：熟练掌握互反函数间图象间的关系，不必求反函数，反函数图象过点（2，8），即函数图象过（8，2），对于这个函数来讲，有2个条件，进而求出2个参数。【综合测试】1.已知下列函数①；②；③，；④，，其中存在反函数的函数序号是（）A.①④B.①③C.②③D.②④2.已知函数存在反函数且，则的图形必过点（）A.（2，0）B.（0，2）C.（3，）D.（）3.已知函数则的值为（）A.B.C.4D.－44.若函数的反函数是，那么是（）A.B.C.D.5.的导函数在区间[0，1]上存在反函数的充分必要条件是（）A.B.C.D.6.设是函数（）的反函数，则使成立的的取值范...