八类函数型不等式恒成立问题的探究函数型不等式的恒成立问题在近年的高考中频频“闪亮登场”，常以压轴题的身份出现，能有效地甄别考生的思维品质，成为高考的热点和难点.如2005年天津卷21，辽宁卷22等.由于这类问题综合性强，难度大，能力要求高，很多同学望而生畏，无从下笔.本文通过一些典型例题探究在高考中常见的八种类型，仅供参考.1.“a≥f(x)”型形如“a≥f(x)”或“a≤f(x)”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥[f(x)]max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则a≤[f(x)]min(x∈D)”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1已知二次函数f(x)=ax2+x，若x∈[0,1]时，恒有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围.解∵|f(x)|≤1，∴-1≤ax2+x≤1，即-1-x≤ax2≤1-x.当x=0时，不等式-1≤a×0≤1显然成立，∴a∈R.当0＜x≤1时，由-1-x≤ax2≤1-x得.∵，，∴a≤0.又∵，，∴a≥-2.∴-2≤a≤0.综上得a的范围是a∈[-2,0].用心爱心专心2.“f(x1)≤f(x)≤f(x2)”型例2已知函数，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____.解∵对任意x∈R，不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，∴f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数y=sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.又函数的周期为4，∴|x1-x2|的最小值为2.3.“”型例3(2005湖北)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cosx这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3解本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知y=log2x符合题意.4.“＞0”型例4已知函数f(x)定义域为[-1,1]，f(1)=1，若m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，都有，若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.解任取-1≤x1＜x2≤1，则.由已知＞0，用心爱心专心又x1-x2＜0，∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x)在[-1,1]上为增函数.∵f(1)=1，∴x∈[-1,1]，恒有f(x)≤1.∴要使f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，即要t2-2at+1≥1恒成立，故t2-2at≥0恒成立.令g(a)=t2-2at，只须g(-1)≥0且g(1)≥0，解得t≤-2或t=0或t≥2.评注形如不等式“＞0”或“＜0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.5.“f(x)＜g(x)”型例5已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围.解f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.令，.∵x∈[0,1]，∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.用心爱心专心6.“f(x1)＜g(x2)”型例6已知函数，若对任意x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)，求c的范围.解因为对任意的x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)成立，∴[f(x)]max＜[g(x)]min.∵f′(x)=x2-2x-3，令f′(x)＞0得x＞3或x＜-1；f′(x)＜0得-1＜x＜3.∴f(x)在[-2,-1]为增函数，在[-1,2]为减函数.∵f(-1)=3，f(2)=-6，∴[f(x)]max=3.∴.∴c＜-24.7.“|f(x1)＜f(x2)|＜t(t为常数)”型例7已知函数f(x)=-x4+2x3，则对任意t1，t2∈[-,2](t1＜t2)都有|f(x1)-f(x2)|≤____恒成立，当且仅当t1=____，t2=____时取等号.解因为|f(x1)-f(x2)|≤|[f(x)]max-[f(x)]min|恒成立，由，x∈[-,2]，易求得，.∴|f(x1)-f(x2)|≤2.例8已知函数y=f(x)满足：(1)定义域为[-1,1]；(2)方程f(x)=0至少有两个实根-1和1；(3)过f(x)图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1)证明|f(0)|≤1；用心爱心专心(2)证明：对任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤1.证明(1)略；(2)由条件(2)知f(-1)=0，f(1)=0，不妨设-1≤x1≤x2≤1，由(3)知|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|=x2-x1，又∵|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|=|f(x1)-f(-1)|+|f(x2)-f(1)|≤|x1+1|+|x2-1|=x1+1+1-x2=2-(x2-x1)≤2-|f(x1)-f(x2)|，∴|f(x1)-f(x2)|≤1.8.“|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|”型例9已知函数f(x)=x3+ax+b，对于x1,x2∈(0,)(x1≠x2)时总有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|成立，求实数a的范围.解由f(x)=x3+ax+b，得f′(x)=3x2+a，当x∈(0,)时，a＜f′(x)＜1+a.∵|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，∴，∴∴-1≤a≤0.评注由导数的几何意义知道，函数y=f(x)图像上任意两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)连线的斜率(x1≠x2)的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|或|f(x1)-f(x2)|≥m|x1-x2|(m＞0)型的不等式恒成立问题.用心爱心专心
