开卷速查(五十二)椭圆A级基础巩固练1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4。答案：C2．[2016·嘉兴模拟]已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是()A.B.C.∪D.∪解析：在椭圆x2＋my2＝1中，当0＜m＜1时，a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1，∴e2＝＝＝1－m，又＜e＜1，∴＜1－m＜1，解得0＜m＜，当m＞1时，a2＝1，b2＝，c2＝1－，e2＝＝＝1－，又＜e＜1，∴＜1－＜1，解得m＞，综上可知实数m的取值范围是∪。答案：C3．[2016·烟台模拟]一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)。由点P(2，)在椭圆上知＋＝1。又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6。答案：A4．[2016·金华模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰有8个不同的点P，使得△F1F2P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，所以|OP|＝c＞b，即c2＞a2－c2，所以a＜c，因为e＝，0＜e＜1，所以＜e＜1。答案：C5．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7。答案：B6．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是__________。解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则F1P＝(x＋，y)，F2P＝(x－，y)。 ∠F1PF2为钝角，∴F1P·F2P＜0，即x2－3＋y2＜0，① y2＝1－，代入①得x2－3＋1－＜0，x2＜2，∴x2＜。解得－＜x＜，∴x∈。答案：7．设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________。解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1。答案：＋＝18．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B。若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________。解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a。又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立。此时4a＝12，则a＝3。故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝。答案：9．椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c。若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________。解析： 直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M。 |MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－c。 |MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2。∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0。∴e2＋2e－2＝0，解得e＝－1。答案：－110．[2015·安徽]设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为。(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程。解析：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝。(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为。设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为。又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3。所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1。B级能力提升练11...
